20784 img424 (2)

Zatem

lim (x² - 3x +7) = 1 - 3 + 7 = 5.

X—> 1

Ostatecznie, na mocy twierdzenia 3.e mamy x² - 3x + 7

lim

x->1

!=’•

x + 4

W tym rozwiązaniu pokazaliśmy formalnie, krok po kroku, w jaki sposób korzystać z obu twierdzeń.

PRZYKfAD 4.

Obliczmy:

a)    lim

X—>1

b)    lim

x² - 3x + 2 x- 1

x² + x - 6

x—>2 x⁴ - 3x² - 4

Ad a) Zauważmy, że jeśli x->1, to licznik i mianownik ułamka dążą do zera,

a więc mamy symbol nieoznaczony ^ . Rozkładamy trójmian w liczniku na czynniki.

o

t

lim

x-»1

x² - 3x + 2

x- 1

i

0

= lim

X->1

^ ^{1    2}) = lim (x - 2) = 1 - 2 = -1.

X - I    x->1 ^v '

Warto w tym miejscu zwrócić uwagę, że skrócenie ułamka przez (x - 1) było możliwe dzięki temu, że x należy do sąsiedztwa punktu x₀ = 1, a więc x - 1 * 0.

Ad b) Podobnie obliczamy

.. x² + x - 6    ..

lim ————r = lim

(x - 2) (x + 3)

- lim

x + 3

x->2 X⁴ - 3x² - 4 x—>2 (x² +1) (x — 2) (x + 2)    x-»2 (x² +1)(x + 2)

PRZYKfAD 5.

Obliczmy:

_x ,.    V 2x + 9 — 3

a) lim -

' x-»0

b) lim

x

V2x- 1

1

5 • 4

4'

Ad a) Rozszerzymy ułamek przez (v2x + 9 + 3), aby można było wykorzystać w/ńr skróconego mnożenia.

?

_f_A__s

_|jm V27T9-3 _{= |jm} (V2^T9-3)(V2^T9 + 3) ₌

X >0 x^    x->o    X(V2x + 9 + 3)

i    ,    (^2x + 9 )²-3²    ..    2x

o = hm -—i—-—--= lim r=---

*->° x(V2x + 9 + 3)    *->o x(a/2x + 9 + 3)

- lim —r-—-

*-*o V 2x + 9 + 3

.2

6

. 1_ 3

Ad b) Postępując podobnie jak w poprzedniej części zadania, obliczamy:

(V 2x - 1 - 1) (V 2x - 1 + 1) (V3x +1+2) _ (V 2x - 1 + 1) (V3x +1-2) (V3x +1+2) (2x - 1 - 1) (V3x +1+2) _ _|jm 2(x - 1)(V3x+ t + 2)

n V2x- 1

Hm —_

* V3x + 1

= lim

X->1

= lim

X—> 1

(V2x - 1 + 1) (3x + 1 - 4)

4

t

*-►1    (V2x- 1 + 1) 3 (x — 1)

lim

2(V3x+ 1 + 2) _ 4 3(V2x- 1 +1)    3

1.2. Granica niewłaściwa,

granica w nieskończoności, granice jednostronne

Granica niewłaściwa funkcji w punkcie

Przyjrzyjmy się na początek, jak zmieniają się wartości funkcji /(x) = dla

argumentów z sąsiedztwa S(0). Jeżeli (x„) jest dowolnym ciągiem, którego wyrazy x_n e S(0) oraz limx_n = 0, to wtedy, na mocy twierdzenia 1 1. ze

n—>oo

str. 188 podręcznika Matematyka. Klasa II, otrzymujemy

1

(*_n)²

lim f(x_n) = lim

n—>oo    n—>oo

Powiemy zatem, że lim /(x)= +oo.

- +00.