23905 MATEMATYKA178

346 VII Macierze. Wyznaczniki. Układy równań liniowych

346 VII Macierze. Wyznaczniki. Układy równań liniowych

A(B + C) = AB-f AC (A + B)C = AC + BC

rozdzielność mnożenia względem dłutowania

Powyższe własności wynikają z przyjętych wcześniej definicji działań na macierzach oraz odpowiednich własności działań na liczbach rzeczywistych.

WYZNACZNIK MACIERZY Każdej macierzy kwadratowej przyporządkowujemy liczbę nazywaną jej wyznacznikiem Wyznacznik macierzy ^aII ^a12 ••• ^aln

A =

a₂| a₂₂ ... a_2n

.^anl ^an2 **• ^ann_

	^an	a12	... a]fl
det A = W =	^a21	^a22	... a2n
	^anl	^an2	... ann

oznaczamy

a jego wartość określamy rekurcncyjnie:

1) Jeżeli n ~ 1, to

W =	^all|	— ^ai i;
2) Jeżeli n > 1. to	^all	^al2	... ahł
W =	^a2l	^a22	... a2n
	^anl	^an2	... ann

-a„Wi_l-a_1IW₁₁+...+(-!)^,t"a₁„W_ln,

gdzie W_lk, k =    oznacza wyznacznik otrzymany z wyznacznika

W przez pominięcie pierwszego wiersza i k-tej kolumny.

Ogólniej: wyznacznik otrzymany z wyznacznika W przez pominięcie i-tego wiersza oraz k-tej kolumny oznaczamy symbolem W_lk i nazywamy podwyznacznikicm wyznacznika W, a iloczyn

Hfx-w:

nazywamy algebraicznym dopełnieniem elementu .

Zatem

W = a, ,W*| +a₁₂W|2 + ... + a|„W*_n, co czytamy: wyznacznik W jest równy sumie iloczynów elementów pierwszego wiersza tego wyznacznika przez ich algebraiczne dopełnienia.

Uwaga. Stopień macierzy nazywamy także stopniem wyznacznika tej macierzy. Zatem

1-2 0

1

0    3

1    -2

2

-1

są wyznacznikami odpowiednio 3-go i 2-go stopnia. Korzystając z definicji obliczymy wyznaczniki:

^a11 ^a12

a)

21 ^d22

“ ^a1l|^a22|~^al2|^a2l| - ^all^a22 “^a12^a21

Pamiętać należy, że symbole jagi* !^a2i| oznaczają tu wyznaczniki jcdnoelementowc, a nic moduły tych liczb. Zatem a_u a,₂

^a2l ^a22

= a, !a₂₂ - ^a 12^a21

b)

^all ^al2 ^a13 ^a2l ^a22 ^a23

^a3ł ^a32 ^a33

* a

11

^a22 ^a23 ^a32 ^a33

-a,2

^a21 ^a23 ^a31 ^a33

^a13

^a21 ^a22 ^a3l ^a32

= a_na22^a33 “^all^a23^a32 “ ^al2^a21^a33 ^{+ a}12^a23^a31 ^{+ a}l3^a2l^a32 ” ^a13^a22^a3l

Zapamiętanie lego wyniku jest dosyć trudne, ale napisanie go okaże się łatwe, gdy zastosujemy tzw. metodę (regułę) Sarrusa: pod wyznacznikiem podpisujemy dwa pierwsze jego wiersze, a następnie sumujemy zaznaczone na poniższym schemacie iloczyny elementów wraz za wskazanymi znakami: