24156 str236

236 4. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE RZĘDU DRUGIEGO

spełniające warunki początkowe

u(x,y,z,0) = 0,    = x² + y² + z².

Rozwiązanie. Dla wyznaczenia funkcji u(x,y,z,t) korzystamy ze wzoru Kir-chhoflfa (5.17)

2 n n

u(x,y,z,t) = —    [(x + c/sin0cos(p)²+(.y + c<sin0sinę>)² +

4" J J

o o

+ (z + ct cos O)²] sin OdOdcp,

skąd po obliczeniu całek mamy

u(x,y,z,t) = (x² + y² + z² + c²t²)t.

Zadania do rozwiązania

1.    Wyznaczyć rozwiązanie w(x, t) równania fali płaskiei

>    j?-⁰'

d²u d²u 8x

spełniające następujące warunki:

a)    u (x,    0) = x⁵,    u',(x,    0) = 0,

b)    u (x,    0) = 0,    u',(x,    0) = cos² x,

c)    u (x,    0) = e^x,    u\(x,    0) = 2x.

2.    Wyznaczyć rozwiązanie u(x,y) równania

d²u d²u

^^_9a7 ^{= 0}’

spełniające następujące warunki:

a) u(0, y) = cosy,    u_x(0,y) = y³,

b) u(0,y) = y²-y,    u'_x(0, y) = 3y².

3.    Wyznaczyć rozwiązanie równania

d²u d²u _ 1    8²u

^²⁺d^~Ys lit²’

spełniające następujące warunki:

a) u(x, y, 0) = 0,    u'_t(x, y, 0) = 3x + 2y,

b) u(x, y, 0) = 3(x² + y²), u',(x, y, 0) = 0.

4.    Wyznaczyć rozwiązanie równania

d²u 8²u    8²u _ 1    8²u

8? ⁺ 8p ⁺ 8?~C²' W’

spełniające następujące warunki:    u(x, y, z, 0) = x²— y— z, u',(x, y, z, 0) = x-y + z,