191 2

UKf.ADY PRETOWH STATYCZNIE WYZNACZALNE

3.3. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE RÓWNOWAGI ELEMENTU PRĘTA

Weźmy pod uwagę prostoliniowy pręt swobodny przedstawiony na rys. 3.12

q (X)

Rysunek 3.12:

Przetnijmy go myślowo dwoma przekrojami poprzecznymi znajdującymi się nieskończenie blisko siebie wykonanymi w punktach * i x+dx. Otrzymany w ten sposób kiólki odcinek pręta nazywamy elementem różniczkowym i oznaczamy jako dx.

Zbadajmy równowagę takiego elementu. W tym celu narysujmy go oddzielnie, nanosząc siły wewnętrzne i siły zewnętrzne (rys.3.13).

X

q(x)

dx

*k

Rysunek 3.13:

()beiążenie ciągłe q(x) i n(x) działające na element różniczkowy, możemy traktować )nku lównomicrnic rozłożone .

Koi/yslając z równań równowagi otrzymujemy: n) Suma rzutów wszystkich sił na oś poziomą*

zL P_x=0^>-N{x) + n(x)-dx+\ N{x)+dN(x)] = 0

po przekształceniach

(3.10)

dN{x)_

dx

Wurlość pochodnej siły podłużnej N(x) względem odciętej x przekroju poprzecznego równa się ujemnej wartości obciążenia ciągłego, działającego wzdłuż osi pręta, w tym pr/okroju.

b) Suma rzutów wszystkich sił na oś pionową z

P,^:=Q**Q{x)-q{x)-dx-[Q{x)+dQ{x)\=Q

Wartość pochodnej siły poprzecznej Q(x) względem odciętej x przekroju poprzecznego równa się ujemnej wartości obciążenia ciągłego, działającego prostopadle do osi pręta, w tym przekroju.

c) Suma momentów statycznych wszystkich sił względem punktu C2

M_c2 — 0 »Q(x)-dx+M(x)—q(x)-dx-^~—[M (x) + dM(x)]= 0 dx

Ponieważ iloczyn dwu różniczek d^x'~^ jest wielkością nieskończenie małą wyższego

rzędu, to po odrzuceniu tego składnika otrzymujemy:

^dU(x)=Q(x)

dx

(3.12)

Wartość pochodnej momentu zginającego M(x) względem odciętej x przekroju poprzecznego równa się sile poprzecznej w tym przekroju.

Jeżeli równanie (3.12) z nich zróżniczkujemy obustronnie po x, otrzymujemy:

d"M (x) _dO (x) dx²    dx

podstawiając do równania (3.11) otrzymamy:

(3.13)

. d M (x] dx²

a zatem druga pochodna momentu zginającego, względem odciętej x przekroju poprzecznego równa się ujemnej wartości obciążenia ciągłego, działającego prostopadle do osi pręta w tym przekroju.