63654 s18 19

18

7r

9. y = arccos(x4-l) ——, x G [-2,0] Odpowiedzi

10. y — (x³ - 1)¹⁷, a; G [0,1]

1. y = \/4 - x, a; G (-oo,4],    ?/ G [0, oo)

2.    ;// -    — 1, x G [1, oo), i/ G [0, oo)

3.    y = log, (x 4- 3), x G (—3, oo), yGlR

4.    y =    3^J +1, x    G H, 1/ G (1, oo)

5* y =    | arcsin f,    xG[-2,2], y e    [- f,f]

0. y =    | arccos |,    x G [-3,3], ?/ G    [0? f ]

-7T — ] 4    ’ 4 J

7. /y =    arcsin(x —    2) — j, x G [1,3],    y G    [-

8.    y — sin(x - 1) 4- 1, x G [—f 4-1, f 4- 1], y G [0,2]

9.    y = cos (x 4- f) - 1, x G [-f, f], y G [-2,0]

10. y = ś/l 4-x¹⁷, x G [—1,0], 3/ G [0,1]

1.2.4. Granica funkcji

Obliczyć granice funkcji:

_ x³ - 3x 4- 2

2. lim ——---

x² — 2x 4-1

x² - 4x 4- 4

1. lun ----

x->2 x^{1 2} — 2x

3. lim (—2x³ 4- 3x)

X —* — oc

x

x

4. lim x .

x-> x, V x — 3 x 4- 1

5. lim

* —0

sin 3x cos x 5x

6. lim

sinx

j —o ^/5x -f 4 — 2

2. Podobnie jak w poprzednim przykładzie, licznik można przedstawić w postaci

x^A — 3x 4- 2 — (x — l)²(x 4- 2),

a więc

lim

x³ — 3x 4- 2

i x² — 2x 4- 1

(x-l)²(x4-2)    v

lim -7-—- = lim (x 4- 2)

(x — l)²    1

3. Gdy x -> —oo, to nasze wyrażenie jest symbolem nieoznaczonym: ”oo — oo”. Wyłączając x³ przed nawias, mamy

lim (—2x³ 4- 3x)

X —-X

= lim x³

X —r — DC

ponieważ

lim x³ = — oo, lim -~ = O, oraz

r—r — oc    x—! — oc X“

'1. Sprowadzając wyrażenie w nawiasie do wspólnego mianownika, a następnie dzieląc licznik i mianownik przez najwyższą potęgę x w mianowniku, tzn. przez x², mamy

lim x

.r —f dc

x(x 4- 1) — x(x — 3)

lim x

— oc    (x — 3)(x-fl)

_r    4x²

lim —— --

x—>oc x² — 2x — 3

= lim

= lim x

4x

i—oc (x — 3)(x 4- 1)

= 4

X

5.

Zauważmy, że

lim

sinx

1.

—O X

Z powyższego wzoru po prostych przekształceniach wynika

. sin3xcosx    3 sm3x    3

lim --- = hm - ——— cos x = - • 1 • 1

x-*o 5x    j —o 5 3x    5

juz mamy lim

r — 2

X

;² — 4x 4- 4

x

² - 2x

= lim

(x - 2)

2

X

____    ,    _ ^ = lim

— 2 x(x — 2)    .r-»2

x — 2

0

x

(>.

Aby pozbyć się symbolu nieoznaczonego: ”zero przez zero”, pomnóżmy licznik i mianownik przez wyrażenie >/5x 4- 4 4- 2. Wtedy otrzymamy

•    •    / f K    .    7    .    /-V \

lim

sin x

= lim

sin x(y/5x 4- 4 4- 2)

'■-⁰ \/3x 4- 4 — 2    (\/5x 4- 4 — 2)(^/5x 4- 4 4- 2)

= lim

fi-tO

(x/5x 4- 4 4- 2) sin x

r>x

1 sinx , ,-

lim - - (v5x 4-4 4-2)

.7:—o 5 x

4

5

1

Rozwiązania

2

Zauważmy, że gdy x —> 2, to licznik i mianownik zmierzają do zera. Marny więc do czynienia z symbolem nieoznaczonym: ”zero przez zero”. Aby wyznaczyć tę granicę, przedstawmy licznik i mianownik w postaci:

x² — 4x4-4 — (x — 2)²    x² - 2x = x(x — 2).