65588 MATEMATYKA072

136 Ul. Rachunek różniczkowy

2.    Sformułować twierdzenie odwrotne i przeciwstawne do twierdzenia:

Funkcja f jest ciągła w punkcie x₀ =» funkcja f ma pochodną w punkcie x₀.

Które z tych trzech twierdzeń są fałszywe ? Odpowiedź uzasadnić podając odpowiedni przykład.

3.    Korzystając z definicji pochodnej obliczyć f'(I). gdy

= b) f(x) = x² + x, c)f(x).^.

4.    Obliczyć, o ile istnieje, pochodną funkcji f we wskazanym punkcie x a) f(x) = xjx|, x_o = 0, b) f(x) = xjx+2|, x₀ = -2,

c) f(x)

_ j-x², -n/2<x<0, [tgx, 0śx<x/2,

d> f(x)=| rv^x- ^x**’

|x²-5x+2, x>1,

e) f(x) = j^xsin^ ^x*°> l 0,    x = 0,

5. Wykazać, że funkcja

f(x) =

Xo = 0,

x₀ = l.

x₀ = 0.

1

x²sin—, x*0, x

0,    x=0,

ma pochodną w każdym punkcie xgR, Czy ta pochodna jest funkcją ciągłą na zbiorze R ?

6. Naszkicować wykres funkcji f, a następnie wskazać punkty, w których funkcja ta nic ma pochodnej

a) r(x)={^4-^x2- ^xsn°-l e , x>0,	b) r<x)=f^lr^xI- ^x<!- 1 lnx, x£l,
c) f(x) = { *’*, ^xiJ-[2x~x , x>l,	d) f<x) = (^si"^x» ^x$71’ (0, X > 71,

7. Napisać równanie stycznej do krzywej y = f(x) w punkcie ^f^)), gdy

a) y = x’ + x²-6x-3, x₀ = 2,    b) y = (x + 2)c“\ x₀ = 0,

x +x

c) y = lir x-3lnx, x₀ = 1,

^x,+2 1

d) y = -j—. x₀ = -2.

8.    Obliczyć kąt jaki tworzy z osią 0x w punkcie x₀ = 0 krzywa y = sin x

9.    Na krzywej o równaniu y = x^: - 6x -t-12 ln(x + 2) znaleźć punkty, w których styczna do tej krzywej jest równoległa do osi 0x.

10.    Na krzywej y = x^,-x^:-7x-5 znaleźć punkty, w których styczna do tej krzywej jest równoległa do prostej y = x

11.    Załóżmy, że funkcja f jest róźniczkowalna w punkcie x₀ Wykazać, że

Ax- *0

Ax-*0

_b) ,_iin_(x^Ax)f(V-₃f(x_{9 +} Ax) _{s f(x<>)}__Xof-_(x<i),

12. Znaleźć pochodną funkcji określonej wzorem:

o) y =

stnx

b) y = 2x³cosx + sinx, 2arcsinx

d) y =

0 y =

a) y = xarctgx-x\

^{e) y =} 7+X'

g) y = 2cos'x-3V2, i) y = xln(l + x²),

k) y = _c^8in,x-e^cos,x, m) y = 2x²e“^XC08X,

1 1 + c r) y = aresin t) y = (lnx)

x

x² In x 3 + ln 2 ’

h) y = tg2 + 3e ^x “^x j) y = xln(x+l/x>,

I) y = xe\_

n) y = _v/arctg2x ,

s) y = (sin x)²\ u) y = (arctg2x)^x.

13. Sprawdzić, że dla każdego x € R zachodzą równości: a) sinh(-x) =-sinh x, b) cosh(-x) = cosh x, c) cosh² x - sinh² x = 1,    d) cosh² x +■ sinh² x = cosh 2x.