Capture039

sowy. w którym znajduje sic przypadek 38.. czyli przypadek środkowy. Pr/ypado 38. znajduje się w przedziale od 15 do 19. którego granice dokładne równe _M 14.5-19.5 Widzimy wyraźnie. Je przypadek 38 znajduje się bardzo blisko gin, granicy przedziału, ponieważ wiemy z badaniu liczebności skumulowanych, i/ h przypadków mieści się poniżej górnej granicy tego przedziału, czyli poniżej Wł-to<ci 19.5. Po czwarte, interpolujemy między granicami dokładnymi przedziału, ab, znaleźć laka wartość⁴, powyżej i poniżej której mieści się 38 przypadków W tyn celu stwierdzamy. Je 26 przypadków mieści się w granicach 14.5-19.5 i przyjm. jemy. że te 26 przypadków rozkłada się jednolicie w postaci prostokąta międz. granicami dokładnymi przedziału. Aby znaleźć teraz przypadek 38.. czyli przypj dek środkowy, musimy znaleźć 25 spośród 26 przypadków w tym przedziale. pv nic wat 2 + 11+ 25 = 38. Znaczy to. Je musimy znaleźć laki punki między I4.< a 19.5, poniżej ktorego mieści się 25 przypadków, a powyżej I przypadek Ułamek przedziału, którego poszukujemy, wynosi 25/26. czyli 25/26 * 5 pojedynczych wy ników. czyli 4,81. Dodajemy tę wielkość do dolnej granicy przedziału i otr/ym. jemy medianę: 14.50+4.81. czyli 19.31.

Podsumujmy przebyte kroki:

1.    Obliczamy liczebności skumulowane.

2.    Określamy wielkość A72. czyli połowę przypadków.

3.    Odszukujemy przedział klasowy, w którym znajduje się przypadek środkowy, i określamy dokładne granice lego przedziału.

4.    Przeprowadzamy interpolację, aby znaleźć na skali luką wartość, powyżej i poniżrj której mieści się połowa całkowitej liczby przypadków. Jest to media na.

Student, któremu sprawiałoby trudność nadążenie za przedstawionym wyżej tokiem rozumowania, może zastosować prosty wzór:

Mediana =

L +

m-F.

ir^h-

(4.8)

gdzie: I. F

fm

N

h

W naszym Zatem:

—    dokładna dolna granica przedziału, w którym znajduje się mediana.

—    suma wszystkich liczebności poniżej L.

—    liczebność przedziału zawierającego medianę.

—    liczba przypadków.

—    przedział klasowy.

przykładzie L = 14.5. F = 13. ./„ = 26. N = 76. li = 5.

76P - 13

Mediana = 14.5 + —~ * x 5 = 19.31.

26

Przedstawiona metoda opiera się na założeniu, że pomiary w obrębie przedziału, w którym znajduje się mediana, są rozłożone jednakowo i możliwe jest tu zastosowanie prostej interpolacji liniowej.

/iw/. .. /• pand mńtlańa ItubiMM afangflkMiaM « -Jan-* -i;. zmiennej nieciągłej. w przypadku takich danych median* stanowi trodek pr/edm-łu. w którym mc «nu /najdujc.

4.8. Cechy mediany

Pamiętamy, żc jedna z cech średniej arytmetycznej jest to, ze u ma Wadrat/r* odchyleń od mej jest mniejsza niż suma kw.jdr.drM odchyleń od jakiejkolwiek inne] wartości W rezultacie iicdnu_Xjoi wą*tt#<ią uku. u 1IJC - jr.t najmne^/ą Mediana ma podobna cechę. Spmi *»*• *»?*<* bezwzględnych (czyb «kh\ cń / nięgjcm znaków i od mediany jest mnicjs/a mz \unu odchyleń he/w/gjędnych od jakiejkolwiek innej wartości Jeżeli odchylenie bezwzględne od meduny oznaczy my ~ IV - nklnT. to medTaflojcst .wątłością tiką, ze IlY mdn) jest nuAmnieisz*

Stavig i 1978) wykazał. że jezch zbiór wartości nieciągłych potrjltujcrr.y jako Ciągły, to dla mediany obliczonej w taki sposób me jest prawda ze S.Y - mdr. jest najmniejsza. Rozważmy pomiary 7. 7. 7 8. 8. 8. 9. 9. 10 10 Joli zmienna potraktujemy jako nieciągłą, mediana równa jest 8 i wówczas suma odchyleń bezwzględnych txl niej równa jest 9. Jeśli natomiast zmienną potraktujemy jako ciągłą, mediana równa jest 8.17 i suma odchyleń bezwzględnych wynosi 10.83. Z czego wynika la rozbieżność sum odchyleń bezwzględnych?

Jc<li zmienną traktujemy jako ciągłą, to wszelkie rerzwazanu tu temat urny odchyleń wartości pierwotnych od mediany -.ą po prostu błędne 7aVUla się * nich bowiem istnienie skali ciągłej. Mediana jest punktem na skali cdpow udanym randze Środków er    «nru?j~randyf jednak równic/ odpowiada jaki* punki u

tci sk.ih W konsekwencji właściwa suma odchyleń ht

chyleń "bezwzględny ch punktów na tej założonej skali od mediany Witosa na skali Odpowiadające poszczególnym rangom można łatwo obliczyc za pomocą wzoru pódańego przez Slayigą l 1978). a będącego modyfikacją wzoru i4.8>: X - L * [(R - 0.5 - F)Jf„\h. X oznacza tu wynik na założonej skali R rang; od l do A niezależnie ixl wiązań, .» pozostałe człony są takie same jak we wzorze ł4.8). Zwróćmy uwagę, żc wzór ten jest taki sam jak wzór (4.8) z wyjątkiem tego. te wyrażenie N/2 zastąpiono tu wyrażeniem (/? - 0.5) W naszym przykładzie wartości X odpowiadające różnym wartościom R równe są 6.67. 7.00. 7.33. 7.67, 8.00. 8.33. 8.67, 9,00. 9,33 i 9.67. Mediana równa jest 8.17. Sum3 odchyleń bezwzględnych od tej wartości równa jest 8.33.

4.9. Wartość modalna

Kolejną miarą tendencji centralnej jest wartość modalna. inaczej moda. W sytu-acjach. w których różne wartości zmiennej X występują więcej mz raz. wartość modalna jest wartością występującą najczęściej Rozważmy pomiary II. II. I *. I-.

77