Image06 (3)

10

1.19. Ruch punktu na płaszczyźnie dany jest równaniami

= bt²,

y =

ct²,

układzie współrzędnych:

gdzie b i c są stałymi dodatnimi. Znaleźć w biegunowy

a)    ruch punktu,

b)    prędkość i przyspieszenie.

1.20.    Znaleźć tor, po którym w płaszczyźnie pionowej xy leci samolotem ponaddźwiękowym pilot, który chce, aby jego koledzy stojący na lotnisku usłyszeli w tym samym momencie huk silnika z całego toru. Podać współrzędne końca toru. Wartość prędkości samolotu jest stała i równa v.

W chwili t = 0 samolot znajdował się w odległości r₀ od punktu, w którym stoją koledzy pilota, a wektor r_a tworzył kąt a z płaszczyzną poziomą.

1.21.    Mrówka porusza się po krzywej, której długość s dana jest wzorem s — s_a exp (ct), gdzie s₀ i c - stałe. Wiedząc, że wektor przyspieszenia a tworzy stały kąt a ze styczną do toru w każdym punkcie, znaleźć wartość:

a)    prędkości,

b)    przyspieszeń: stycznego i normalnego,

c)    promienia krzywizny toru jako funkcji długości łuku krzywej.

1.22.    Punkt materialny porusza się po spirali hiperbolicznej, dla której r = c/cp, gdzie c jest stałą, przy czym wartość kąta cp jest liniową funkcją czasu. Znaleźć odległość r punktu od środka spirali jako funkcję czasu. Przedyskutować poszczególne przypadki.

1.23.    Znaleźć rozkład prędkości i przyspieszeń dla wahadła matematycznego przy założeniu drgań harmonicznych. Zadanie rozwiązać w dwóch układach współrzędnych - kartezjańskim i biegunowym.

1.24. Sprinter przebiegł na zawodach drogę s w czasie t. Zakładając, że miejscowość, w której odbywały się zawody, leży na szerokości geograficznej <p, a dany fragment bieżni tworzy kąt 0 = 0 z płaszczyzną południka ziemskiego, znaleźć:

a)    przyspieszenie Coriolisa działające na sprintera,

b)    odchylenie od kierunku prędkości początkowej zmierzone na końcu toru.

Bez wykonywania rachunków oszacować liczbowo wartość odchylenia, jeżeli

= 100 [m], t = 10 [s], (p = 30°. Przyjąć, że okres obrotu kuli ziemskiej T = 86 000 [s].

1.25. W celu sprawdzenia odchylenia ku wschodowi ciała spadającego pionowo Reich wykonał w r. 1831 ponad sto doświadczeń ze spadającą swobodnie kulą w szybie kopalni (cp = 51°) i otrzymał następujące wyniki: przy wysokości spadania 158 [m] odchylenie ku wschodowi wyniosło średnio 28,3 [mm]. Obliczyć odchylenie przewidywane teoretycznie bez uwzględnienia oporu powietrza.

1.26. Punkt porusza się jednostajnie po powierzchni kuli o promieniu R, przy czym wektor prędkości v tworzy z południkami stały kąt ct. Znaleźć czas potrzebny na przejście punktu od równika do bieguna oraz równanie toru.

2. DYNAMIKA

2.1. Ciało o masie m, poruszające się ruchem jednostajnie prostoliniowym z prędkością v_n, zostało zatrzymane na drodze s₀. Siła hamująca była liniową funkcją prędkości v taką, że w chwili zatrzymania ciała wartość jej równała się połowie wartości, jaką miała w chwili rozpoczęcia hamowania. Obliczyć wartość początkową siły hamującej.

7

V

2.2. Samochód o masie m hamowany jest siłą oporu F = —kv². Jaką drogę przebędzie samochód zanim prędkość jego zmaleje do połowy?

2.3. Ciało o masie m spada pod wpływem siły ciężkości z wysokości h, bez prędkości początkowej. Uwzględniając opór ośrodka jako proporcjonalny do prędkości, znaleźć zależność drogi od czasu. Znaleźć przybliżone wyrażenie na x{t\ gdy opór ośrodka jest bardzo mały, ale nie do zaniedbania.

2.4. Napisać równanie ruchu cząstki o masie m i ładunku q, znajdującej się w jednorodnym, zmiennym polu elektrycznym E = (E₀ sinrnt, 0, 0), gdzie co jest częstością kołową, a E₀ - amplitudą wektora natężenia pola elektrycznego.

a.    Znaleźć x(t\ przyjmując warunki początkowe: v_x(0) = 0, x(0) = 0.

i v

^xi

b.    Sprawdzić czy funkcja x(t) = x_Y sincot 4- v₀t 4 x_a spełnia równanie Newtona. Wyznaczyć postać współczynników: x

2.5. Znaleźć równanie toru ciała o masie m w polu siły F = kr. W chwili początkowej ciało znajdowało się w punkcie (x_a, 0), a jego prędkość miała wartość v₀ i była prostopadła do osi x. Rozpatrzyć przypadki k > 0 i k < 0. Czy siła

F = kr jest zachowawcza?