Analiza matematyczna - ćwiczenia

1. Wybrane zagadnienia funkcji rzeczywistych

Zad1. Wyznacz dziedzinę następujących funkcji

Zad2. Zbadaj parzystość i nieparzystość funkcji

Def. Niech
i niech

1. 
   

2. a)
   - funkcja f jest nieparzysta
   b)
   - funkcja f jest parzysta

- dla każdego

- istnieje

Funkcja parzysta - wykres jest symetryczny względem osi OY

Funkcja nieparzysta - wykres jest symetryczny względem punktu O

Istnieją funkcje nie będące ani parzyste, ani nieparzyste

D=R

funkcja jest nieparzysta

D=R

D=R

Zad3. Sprawdź czy podane funkcje są okresowe

Def. Niech
i niech
wówczas

to wtedy funkcja f jest okresowa a T jest okresem

D=R

D=R

funkcja nie jest okresowa

- T musiało by być równe 0,a z definicji nie może

D=R

D=R

Zad4. Narysuj wykresy funkcji i odczytaj z wykresów które z funkcji są monotoniczne, a które równowartościowe.

Def. Niech
i niech

to funkcja f jest równowartościowa

• funkcja nie jest równowartościowa

• funkcja jest równowartościowa

Monotoniczność - funkcja jest monotoniczna gdy jest rosnąca, malejąca,
nie rosnąca, nie malejąca

Def. Niech

1. Niech będzie dane
   
   
   wówczas zachodzą równości:
   1)
   
   2)
   
   3)
   ;
   ;
   

2. 
   

3. O trzech ciągach
   Niech będą dane
   i niech zachodzi
   
   
   ,
   , to
   

4. 
   
   Symbole oznaczone
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   

1. 
   
   
   
   
   
   

2. 
   
   
   

3. 
   
   

4. 
   
   
   
   
   
   
   

5. 
   

6. 
   

7. 
   

8. drugi sposób
   

9. 
   

Ciąg arytmetyczny

Ciąg geometryczny

10. 
    

11. 
    

12. 
    

Granica funkcji

Jeżeli
i
to

Analiza matematyczna - zbiór zadań - Krysicki, Włodarski

Zad 1

Zad 2

Definicja granicy jednostronnej ( lewostronnej )

Zad 3

0⁺ - liczba bliska zero ale jeszcze dodatnia

- nie ma granicy

- wartości nieoznaczone

Ciągłość funkcji

Funkcję f nazywamy ciągłą w punkcie x₀ wtedy i tylko wtedy gdy:

1. f jest określone w punkcie x₀

2. istnieje granica skończona x₀

3. 
   

- jest ciągła w każdym punkcie

Zad 4

Zbadaj ciągłość funkcji

,

Odp. Granica jest równa funkcji w punkcie

Zad 5

Odp. W punkcie x=1 funkcja jest nieciągła

Pochodna

Iloraz różnicowy

Zad 6

Oblicz pochodną

2001-01-05

Monotoniczność i przebieg zmienności funkcji

Niektóre pochodne

C	0

Twierdzenie

Jeżeli f i g są różniczkowalne ( mają pochodne ) w punkcie x to zachodzą wzory:

1. 
   

2. 
   

3. 
   

4. 
   

5. 
   

Zad. 1

Zad. 2

Zad. 3

Wylicz z definicji funkcji ( na podstawie obliczania granicy funkcji lim )

Zadania do samodzielnego obliczenia ( z twierdzeń o pochodnych )

1. 
   

2. 
   

3. 
   

4. 
   

5. 
   

6. 
   

7. 
   

8. 
   

Ad. 3

Ad. 4

Ad. 7

Monotoniczność funkcji

1. Jeżeli w
   
   to f jest rosnąca w przedziale
   

2. Jeżeli w
   
   to f jest malejąca w przedziale
   

3. Jeżeli f ma ekstremum w punkcie x₀ i jest różniczkowalna to
   
   - warunek konieczny istnienia ekstremum

4. Jeżeli f jest różniczkowalna w otoczeniu x₀ i
   oraz „zmienia znak”
   w tym punkcie to f ma ekstremum
   - minimum gdy „zmienia znak” z - na +
   - maksimum gdy „zmienia znak” z + na -

Def.

Mówimy, że f ma maksimum w punkcie x₀ wtedy i tylko wtedy jeżeli istnieje otoczenie U punktu x₀ że
dla

Def.

Mówimy, że f ma minimum w punkcie x₀ wtedy i tylko wtedy jeżeli istnieje otoczenie U punktu x₀ że
dla

Twierdzenie

Jeżeli f jest dwukrotnie różniczkowalna, oraz w (ab)
to f jest
( wklęsła ) natomiast gdy
to f jest
( wypukła )

Jeżeli
w punkcie x₀ i zmienia znak to mówimy, ze funkcja f ma punkt przegięcia w punkcie x₀

Przebieg zmienności funkcji i szeregi liczbowe

Mówimy, że f ma asymptotę pionową o równaniu x=x₀:

• prawą jeżeli
  

• lewą jeżeli
  

Asymptota ukośna

Mówimy, że f ma asymptotę ukośną
jeżeli:

• prawą
  -
  
  -
  
  - jeżeli a = 0 i b istnieje y = b ( asymptota pozioma )
  

• lewą
  -
  
  -
  
  - jeżeli a = 0 i b istnieje y = b ( asymptota pozioma )
  

Zadanie

Zbadaj przebieg zmienności funkcji

1. Dziedzina
   

2. Granice funkcji na krańcach określoności
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   

3. 
   
   Pochodna funkcji
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   

4. Druga pochodna
   
   
   
   

Funkcja dwóch zmiennych ( pochodna cząstkowa )

Warunki konieczne do istnienia ekstremum z = f(x,y) f'x = 0, f”x = 0:

• f'x = 0 i f'y = 0

• 
  , jeżeli f”xx > 0 - max, jeżeli f”xx < 0 - minimum

P₀ (0,0) - funkcja może mieć ekstremum

W < 0 - nie ma ekstremum

Równania różniczkowe

nie ma pierwiastków

x₁

x₂

f(x₁)

f(x₂)

n

2

0

1

1

0

0



0

0







0

x₁

x₀

f(x₁)

g

C

x₁

x₀

f(x) f(x₁)

1

1

x₀-∂

x₀

x₀+∂

M

g

1

1

1

1

1

f(x+h)

f(x)

ϕ

h

x+h

x

U

x

x₀

f(x₀)

f(x)

- x +

x₀

1-√2

1+√2

D ( x,y )

f ( x,y )

Y

X

Z

---