AKADEMIA TECHNICZNO-ROLNICZA W BYDGOSZCZY WYDZIAŁ MECHANICZNY
LABORATORIUM: fizyki
Ćwiczenie nr 12 Temat: Wyznaczenie prędkości fali dźwiękowej metodą rezonansową
Imię i nazwisko: Rafał Politowicz Studium inż. Semestr III Grupa E Data: 8.11.96

Wprowadzenie:

Fala mechaniczna jest to zaburzenie rozchodzące się w ośrodku ze skończoną prędkością i przenoszące energię (bez przenoszenia materii), a polegające na niewielkich ruchach cząsteczek bez zmiany ich średniego położenia.

Ruch falowy jest zjawiskiem bardzo często występującym w przyrodzie. Jednym z najwcześniej zaobserwowanych przykładów były fale zaobserwowane na powierzchni cieczy. Bezustannie wykonują też ruch falowy powierzchnie naturalnych zbiorników wodnych. Przykładem innej fali mechanicznej jest poruszanie końca swobodnie zawieszonego sznura, wówczas pojawi się na nim odkształcenie szybko wędrujące ku górze. Falami mechanicznymi są też dźwięki rozchodzące się w powietrzu lub innych ośrodkach.

Długość fali okresowej:

gdzie:

T - okres drgań

v - prędkość rozchodzenia się fali w danym ośrodku

ν - częstość drgań źródła fali

Każda fala ma swoje czoło. Czoło fali stanowi powierzchnia falowa oddzielająca część przestrzeni objętej zaburzeniem falowym od pozostałej, do której fala jeszcze nie dotarła. W zależności od kształtu czoła fali dzielą się na fale:

• kuliste,

• półpłaskie,

• cylindryczne

Natomiast w zależności od rodzaju źródeł oraz rodzaju ośrodka w jakim się rozchodzą rozróżniamy fale:

• sprężyste (np. fale dźwiękowe),

• powierzchniowe (np. fale rozchodzące się na powierzchni cieczy),

• ciśnieniowe (np. fala uderzeniowa),

• elektromagnetyczne,

• magnetohydrodynamiczne,

• materii

Fale dźwiękowe - są to fale sprężyste, zawarte w paśmie częstotliwości słyszalnych tj. 16Hz - 20kHz), rozchodzące się w ośrodkach gazowych, ciekłych lub stałych.

Zjawiska towarzyszące rozchodzeniu się fal:

• interferencja - nakładanie się fal. Przy rozchodzeniu się w ośrodku kilku fal o tej samej częstotliwości, cząstki w poszczególnych punktach ośrodka drgają z amplitudami powstałymi z sumowania się ciśnień akustycznych wywołanych działaniem wszystkich źródeł zaburzeń, z uwzględnieniem odpowiednich przesunięć fazowych wynikających z różnicy dróg.

• ugięcie fali - jeżeli fala trafia na przeszkodę o wymiarach geometrycznych znacznie mniejszych od długości fali, następuje zjawisko ugięcia polegające na omijaniu przeszkody przez falę.

• rezonans falowy - jeżeli ośrodek, w którym rozchodzi się fala akustyczna, ograniczony jest z obu stron, wówczas wskutek wielokrotnych odbić od granicy ośrodków nastąpi wielokrotne nakładanie się fal. W przypadku zgodności faz wszystkich fal odbitych otrzymuje się maksymalne wzmocnienie ciśnienia akustycznego.

Metoda rezonansowa

Metoda oparta jest na zjawisku rezonansu akustycznego w słupie powietrza zamkniętym z jednej strony. Niech źródło drgań (np. kamerton) emituje falę płaską harmoniczną w kierunku osi x, a przeszkoda znajduje się w odległości l. (patrz rysunek). W punkcie M zachodzi superpozycja dwóch fal: bieżącej i powracającej po odbiciu od przeszkody.

0 M P

x

l

Ta druga fala opóźniona jest w fazie o wielkość:

gdzie ϕ jest dodatkowym opóźnieniem, które może powstać podczas odbicia od przeszkody. Równanie tej fali ma postać:

Po dodaniu równań i skorzystaniu z tożsamości trygonometrycznej:

otrzymamy:

Amplituda otrzymanej fali stojącej jest okresową funkcją odległości punktu x i nie zależy od czasu. Maksimum fali występuje w punktach o współrzędnej spełniającej warunek:

(m=0, ±1, ±2, …),

a punkty te nazywamy strzałkami. Dla węzłów, czyli punktów, w których zanikają drgania, warunek jest następujący:

(m=0, ±1, ±2, …).

Kąt przesunięcia fazowegoϕ przy odbiciu fali od granicy dwóch ośrodków zależy od stosunku oporności falowych

Z=ρ*c

gdzie:

ρ - gęstość ośrodka

c - prędkość dźwięku

Oporność falowa ma przykładowo wartość 429 kg/m²s dla powietrza, 14*10⁵ kg/m²s dla wody i 46*10⁶ kg/m²s dla stali. Jeśli fala pada prostopadle do granicy ośrodków i odbija się od ośrodka rzadszego (Z₂/Z₁<1, to ϕ=0, przy odbiciu od ośrodka gęstszego ϕ=.Π

Odległość między sąsiednimi węzłami (lub strzałkami) jest równa połowie długości fali:

Weźmy słup powietrza zamkniętego z jednej strony. U wylotu powstanie strzałka, a w punkcie odbicia węzeł. Ilustruje to poniższy rysunek. W takim słupie powietrza powstanie fala stojąca, jeśli jego długość spełnia warunek:

(n=0, 1, 2, …)

n=0

n=1

n=2

n=3

Uzupełnienie:

Dyspersja fal - zależność prędkości fazowej fal do ich częstotliwości; występuje w ośrodku, którego właściwości zależą od długości rozchodzącej się w nim fali; jeśli fale dłuższe rozchodzą się z większą prędkością niż krótsze, to dyspersja fal nazywa się normalną, w wypadku przeciwnym - anomalną.

Aby mówić o spójności fal - muszą być spełnione następujące warunki:

• różnica faz nakładających się fal musi być stała w czasie

• fale winny mieć tę samą naturę

Prędkość rozchodzenia się fal. Fale mechaniczne rozchodzą się w różnych ośrodkach sprężystych. W ciałach stałych mogą rozchodzić się zarówno fale poprzeczne jak i podłużne. Prędkość rozchodzenia się fali podłużnej w ciele stałym wyraża się wzorem:

gdzie:

E - moduł Younga

ρ - gęstość ciała

Fala poprzeczna rozchodzi się w ciele stałym z prędkością:

gdzie:

G - moduł sprężystości postaciowej

Na ogół moduł Younga jest większy od modułu sztywności toteż w danym ciele stałym fala podłużna rozchodzi się szybciej od fali poprzecznej. Ciecze i gazy nie mają sprężystej postaci i dlatego nie mogą się w nich rozchodzić fale poprzeczne.

Prędkość fali podłużnej w cieczy wynosi:

gdzie:

K - moduł ściśliwości cieczy

Prędkość fali podłużnej w gazie wyraża się wzorem:

gdzie:

χ = Cp/Cv

p - ciśnienie gazu

Obliczenia:

; f=435±1[s^-1]

Obliczenie błędu:

1. Obliczenie błędu pomiaru pierwszej wysokości h₁

εi [cm]	εi^2[cm^2]
0.12	0.0144
-0.08	0.0064
0.02	0.0004
-0.18	0.0324
0.22	0.0484
-0.18	0.0324
0.02	0.0004
0.12	0.0144
-0.08	0.0064
0.02	0.0004

h_1śr=18,62 [cm]

Maksymalny błąd bezwzględny α=0,99; f_n,α =4,8

Δ_h1= f_n,α*Δh_1śr=0,2 [cm]

2. Obliczenie błędu pomiaru drugiej wysokości h₂

εi [cm]	εi^2[cm^2]
-0.18	0.0324
0.02	0.0004
0.22	0.0484
0.02	0.0004
-0.08	0.0064
0.02	0.0004
-0.08	0.0064
0.12	0.0144
-0.08	0.0064
0.02	0.0004

h_2śr=58,52 [cm]

Maksymalny błąd bezwzględny α=0,99; f_n,α =4,8

Δ_h2= f_n,α*Δh_1śr=0,17 [cm]

3. Obliczenie błędu prędkości fali:

---