Sprawozdanie z wykonania ćwiczenia nr 222.
TEMAT : Czas zderzenia kul - sprawdzenie wzoru Hertza.
|
||
IMIĘ I NAZWISKO : SEBASTIAN GOS |
||
WYDZIAŁ : Elektryczny |
SEMESTR : letni |
ROK AKADEMICKI : 1998/99 |
ZESPÓŁ : nr 3 |
DATA WYKONANIA : 19 kwietnia 1999 |
|
OCENA : |
PODPIS : |
Rozpatrzmy zderzenie dwóch jednakowych, metalowych kul . Wpiszmy najpierw wielkości charakteryzujące każdą z kul, które będą istotne w procesie zderzenia. Rozmiary geometryczne kuli opisuje jej promień R, zaś jej bezwładność - masa M. Własności sprężyste materiału, z którego są zrobione kule określają dwa parametry : moduł Younga E i współczynnik Poissona δI. Przypomnijmy, że moduł Younga jest zdefiniowany przez prawo Hooka, które stwierdza proporcjonalność względnego wydłużenia (skrócenia) (Δl / l) do przyłożonego ciśnienia p., wywołującego to wydłużenie (skrócenie):
Współczynnik Poissona δ jest zdefiniowany jako stosunek względnego poprzecznego skrócenia do względnego podłużnego wydłużenia. Jest to zatem wielkość bezwymiarowa. Załóżmy, że jedna z dwóch takich samych kul - o masie M. Spoczywa, a druga zbliża się do niej z pewną prędkością. Najwygodniejszym do opisu układem odniesienia będzie układ środka masy tych kul . W tym układzie obie kule zbliżają się do siebie z tą samą prędkością vI .
Energia kinetyczna tych kul w układzie środka masy wynosi :
gdzie:
- masa zredukowana
- prędkość względna kul
W czasie zderzenia obie kule deformują się :
Niech parametr h określa względne zbliżenie środków kul w czasie zderzenia. Zmienia się on od wartości zero (początek zderzenia) do pewnej wartości maksymalnej h0 i z powrotem do zera (koniec zderzenia). Energia całkowita układu kul składa się teraz z dwóch części: energii kinetycznej i energii potencjalnej.
Można pokazać, że energia kinetyczna jest proporcjonalna do kwadratu szybkości zmian parametru h:
zaś energia potencjalna jest proporcjonalna do parametru h w potędze 5/2:
gdzie k jest pewną stałą, zależną od R,E i δ.
Stosując zasadę zachowania energii, otrzymujemy równanie:
Maksymalne zbliżenie środków kul jest wtedy, gdy (dh/dt)=0. Podstawiając ten warunek do poprzedniego równania, otrzymujemy następujące wyrażenie dla h0:
a to możemy przekształcić łatwo do następującej postaci :
Dysponując tym równaniem nie trudno napisać równanie na czas zderzenia kul τ :
Obliczenie tej całki nie jest proste napiszmy więc jedynie końcowy rezultat:
Powyższe równanie nosi nazwę wzoru Hertza.
Celem ćwiczenia jest wyznaczenie wykładnika potęgowego w funkcji zależności czasu zderzenia kul od ich prędkości oraz porównanie go z wykładnikiem występującym we wzorze Hertza.
Metoda pomiarowa:
Pomiary mają na celu wyznaczenie zależności czasu zderzenia dwu kul metalowych τ od prędkości kuli uderzającej ν . Czas zderzenia τ mierzony jest bezpośrednio , natomiast prędkość kuli uderzającej ν wyznaczamy ze wzoru
gdzie g jest przyspieszeniem ziemskim , φ kątem odchylenia ruchomej kuli , l długością nici na której wisi kula.
Jak wynika ze wzoru Hertza , czas zderzenia jest proporcjonalny do prędkości v w potędze (-1/5). Aby sprawdzić , czy nasze rezultaty spełniają ta zależność należy sporządzić wykres τ od ν w układzie logarytmicznym . Współczynnik kierunkowy linii prostej najlepiej pasującej do punktów pomiarowych na tym wykresie daje nam szukaną wartość wykładnika potęgowego.
TABELA POMIAROWA
Lp. |
φ |
τ1 |
τ2 |
τ3 |
τ4 |
τ5 |
τ6 |
τ7 |
τ8 |
τsr |
v |
lnv |
lnτ |
1 |
3 |
164 |
158 |
177 |
160 |
173 |
169 |
175 |
161 |
167,125 |
0,116 |
-2,155 |
-8,697 |
2 |
4.5 |
144 |
140 |
136 |
147 |
148 |
159 |
151 |
139 |
145,5 |
0,174 |
-1,749 |
-8,835 |
3 |
6 |
140 |
157 |
144 |
133 |
160 |
141 |
147 |
150 |
146,5 |
0,232 |
-1,462 |
-8,828 |
4 |
7.5 |
139 |
125 |
145 |
136 |
140 |
129 |
134 |
133 |
135,125 |
0,29 |
-1,239 |
-8,909 |
5 |
9 |
125 |
123 |
127 |
124 |
128 |
125 |
123 |
128 |
125,125 |
0,348 |
-1,057 |
-8,984 |
6 |
10.5 |
130 |
128 |
123 |
127 |
124 |
121 |
123 |
125 |
125,125 |
0,405 |
-0,903 |
-8,986 |
7 |
12 |
123 |
122 |
124 |
122 |
120 |
123 |
122 |
121 |
122,125 |
0,463 |
-0,77 |
-9,01 |
Wykres zależności czasu zderzenia do prędkości kulki w skali logarytmicznej.
Obliczanie współczynników a oraz b metodą najmniejszych kwadratów.
Opracowanie omyłek popełnionych w ćwiczeniu
Dokładność stopera Dt=0.000001s
Niepewność systematyczna związana z włączeniem i wyłączeniem stopera jest pomijalnie mała.
Przyjmujemy Dt1=0s
Standardowe odchylenia poszczególnych wartości czasu zderzenia od wartości średnich
Niepewności całkowite wynoszą
Wnioski z ćwiczenia
Na podstawie wyników doświadczenia można stwierdzić, że im mniejszy kąt odchylenia kulki, tym mniej dokładny pomiar, natomiast im większy kąt odchylenia kulki tym pomiar staje się bardziej dokładny.