222, 222A1, Sprawozdanie z wykonania ćwiczenia nr 115.


Sprawozdanie z wykonania ćwiczenia nr 222.

TEMAT : Czas zderzenia kul - sprawdzenie wzoru Hertza.

IMIĘ I NAZWISKO : SEBASTIAN GOS

WYDZIAŁ : Elektryczny

SEMESTR : letni

ROK AKADEMICKI : 1998/99

ZESPÓŁ : nr 3

DATA WYKONANIA : 19 kwietnia 1999

OCENA :

PODPIS :

Rozpatrzmy zderzenie dwóch jednakowych, metalowych kul . Wpiszmy najpierw wielkości charakteryzujące każdą z kul, które będą istotne w procesie zderzenia. Rozmiary geometryczne kuli opisuje jej promień R, zaś jej bezwładność - masa M. Własności sprężyste materiału, z którego są zrobione kule określają dwa parametry : moduł Younga E i współczynnik Poissona δI. Przypomnijmy, że moduł Younga jest zdefiniowany przez prawo Hooka, które stwierdza proporcjonalność względnego wydłużenia (skrócenia) (Δl / l) do przyłożonego ciśnienia p., wywołującego to wydłużenie (skrócenie):

0x01 graphic

Współczynnik Poissona δ jest zdefiniowany jako stosunek względnego poprzecznego skrócenia do względnego podłużnego wydłużenia. Jest to zatem wielkość bezwymiarowa. Załóżmy, że jedna z dwóch takich samych kul - o masie M. Spoczywa, a druga zbliża się do niej z pewną prędkością. Najwygodniejszym do opisu układem odniesienia będzie układ środka masy tych kul . W tym układzie obie kule zbliżają się do siebie z tą samą prędkością vI .

Energia kinetyczna tych kul w układzie środka masy wynosi :

0x01 graphic
0x01 graphic

gdzie:

0x01 graphic
- masa zredukowana

0x01 graphic
- prędkość względna kul

W czasie zderzenia obie kule deformują się :

Niech parametr h określa względne zbliżenie środków kul w czasie zderzenia. Zmienia się on od wartości zero (początek zderzenia) do pewnej wartości maksymalnej h0 i z powrotem do zera (koniec zderzenia). Energia całkowita układu kul składa się teraz z dwóch części: energii kinetycznej i energii potencjalnej.

Można pokazać, że energia kinetyczna jest proporcjonalna do kwadratu szybkości zmian parametru h:

0x01 graphic
0x01 graphic

zaś energia potencjalna jest proporcjonalna do parametru h w potędze 5/2:

0x01 graphic
0x01 graphic

gdzie k jest pewną stałą, zależną od R,E i δ.

Stosując zasadę zachowania energii, otrzymujemy równanie:

0x01 graphic

Maksymalne zbliżenie środków kul jest wtedy, gdy (dh/dt)=0. Podstawiając ten warunek do poprzedniego równania, otrzymujemy następujące wyrażenie dla h0:

0x01 graphic

a to możemy przekształcić łatwo do następującej postaci :

0x01 graphic

Dysponując tym równaniem nie trudno napisać równanie na czas zderzenia kul τ :

0x01 graphic

Obliczenie tej całki nie jest proste napiszmy więc jedynie końcowy rezultat:

0x01 graphic

Powyższe równanie nosi nazwę wzoru Hertza.

Celem ćwiczenia jest wyznaczenie wykładnika potęgowego w funkcji zależności czasu zderzenia kul od ich prędkości oraz porównanie go z wykładnikiem występującym we wzorze Hertza.

Metoda pomiarowa:

Pomiary mają na celu wyznaczenie zależności czasu zderzenia dwu kul metalowych τ od prędkości kuli uderzającej ν . Czas zderzenia τ mierzony jest bezpośrednio , natomiast prędkość kuli uderzającej ν wyznaczamy ze wzoru

0x01 graphic

gdzie g jest przyspieszeniem ziemskim , φ kątem odchylenia ruchomej kuli , l długością nici na której wisi kula.

Jak wynika ze wzoru Hertza , czas zderzenia jest proporcjonalny do prędkości v w potędze (-1/5). Aby sprawdzić , czy nasze rezultaty spełniają ta zależność należy sporządzić wykres τ od ν w układzie logarytmicznym . Współczynnik kierunkowy linii prostej najlepiej pasującej do punktów pomiarowych na tym wykresie daje nam szukaną wartość wykładnika potęgowego.

TABELA POMIAROWA

Lp.

φ

τ1

τ2

τ3

τ4

τ5

τ6

τ7

τ8

τsr

v

lnv

lnτ

1

3

164

158

177

160

173

169

175

161

167,125

0,116

-2,155

-8,697

2

4.5

144

140

136

147

148

159

151

139

145,5

0,174

-1,749

-8,835

3

6

140

157

144

133

160

141

147

150

146,5

0,232

-1,462

-8,828

4

7.5

139

125

145

136

140

129

134

133

135,125

0,29

-1,239

-8,909

5

9

125

123

127

124

128

125

123

128

125,125

0,348

-1,057

-8,984

6

10.5

130

128

123

127

124

121

123

125

125,125

0,405

-0,903

-8,986

7

12

123

122

124

122

120

123

122

121

122,125

0,463

-0,77

-9,01

Wykres zależności czasu zderzenia do prędkości kulki w skali logarytmicznej.

0x08 graphic

Obliczanie współczynników a oraz b metodą najmniejszych kwadratów.

0x08 graphic

Opracowanie omyłek popełnionych w ćwiczeniu

Dokładność stopera Dt=0.000001s

Niepewność systematyczna związana z włączeniem i wyłączeniem stopera jest pomijalnie mała.

Przyjmujemy Dt1=0s

Standardowe odchylenia poszczególnych wartości czasu zderzenia od wartości średnich

0x08 graphic
Niepewności całkowite wynoszą

0x08 graphic

Wnioski z ćwiczenia

Na podstawie wyników doświadczenia można stwierdzić, że im mniejszy kąt odchylenia kulki, tym mniej dokładny pomiar, natomiast im większy kąt odchylenia kulki tym pomiar staje się bardziej dokładny.

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic



Wyszukiwarka