Rozwiązania zadań przewidzianych na ćwiczenia 21 grudnia 2004 roku

74. a) 1. z definicji pracy W=F·s, s=h/sin, siłę F liczymy z II zasady dynamiki ma=F-T-Q_x, Q_x=mgsin, T=mgcos, s=at²/2, a=2h/(t²·sin), F=m[g(cos+sin)+2h/(t²·sin)], W=m[g(ctg+1)+2h/(t²·sin²)]h=965.3J, 2. z bilansu energii W_całk=W+W_T=E₂-E₁, E₁=0, E₂=mgh+mv²/2, v=at=2h/(t·sin), praca siły tarcia W_T=
=Tscos,  - kąt między wektorami
i
, =180^o, cos=1, zatem W_T=Ts, W=Ts+mgh+mv²/2=m[g(ctg+1)+2h/(t²·sin²)]h=965.3J

b) 1. z definicji pracy jak w a) ale ma=F-T+Q_x, F=m[g(cos-sin)+2h/(t²·sin)], W=m[g(ctg-1)+2h/(t²·sin²)]h=376.7J, 2. z bilansu energii W_całk=W+W_T=E₂-E₁, E₁=mgh, E₂=mv²/2, W=Ts+mv²/2mgh, W=m[g(ctg-1)+2h/(t²·sin²)]h=376.7J

75. W=W_s+W_cz, W_s  praca na ruch skrzyni, W_cz  praca na ruch człowieka, liczona jako przyrost jego energii kinetycznej (ruch po poziomym podłożu bez zmiany wysokości czyli bez zmiany energii potencjalnej), W_cz=E₂-E₁, E₁=0, E₂=Mv²/2, s=v²/2a, v²=2as, W_cz=Mas

Ciągnie; 1. W_s z def. pracy,  jest kątem między siłą a przesunięciem, W_s=Fscos, siłę F liczymy z II zas. dynamiki ma=F_x-T, F_x=Fcos, T=(mgFsin), jak w zad. 49, ma=Fcos(mgFsin), F=m(a+g)/(cos+sin), W=[m(a+g)cos/(cos+sin)+Ma]s=[m(a+g)/(1+tg)+Ma]s=903.6J; 2. W_s z bilansu energii skrzyni W_scałk=W_s+W_T=E_2s-E_1s, E_1s=0, E_2s=mv²/2, W_T=Ts, T jak w 1. W_s=mv²/2+Ts, po podst. v²=2as i wyrażenia na T uwzględniającego wzór na F mamy W_s oraz W jak w 1.

Pcha; 1. W_s z def. pracy, ma=F_x-T, F_x=Fcos, T=(mgFsin), ma=Fcos(mg+Fsin), F=m(a+g)/(cossin), W=[m(a+g)cos)/(cossin)+Ma]s=[m(a+g)/(1tg)+Ma]s=987J

2. jak 2. dla ciągnięcia ale w wyrażeniu na T wstawiamy podkreślony wzór na F, dostajemy W= jw.

77. Pęd układu przed odpaleniem p=Mv₁, pęd układu po odpaleniu p'=(Mm)v₂+mv, v - prędkość odrzuconego członu, zas. zach. pędu, p'=p, stąd (Mm)v₂+mv=Mv₁, v=[Mv₁(Mm)v₂]/m=504km/h, znak „-” to odrzut do tyłu, proces odpalania wymaga dostarczenia energii E_O, jest to zwykle energia wybuchu odpowiedniego ładunku odpalającego, po wybuchu energia ta zamienia się na dodatkową energię kinetyczną układu, E - energia układu przed odpaleniem, E' - energia układu po odpaleniu, E'=E+E_O, E_O=E'-E, E=Mv₁²/2, E'=(Mm)v₂²/2+mv²/2, E' składa się z energii rakiety o masie pomniejszonej o masę odpalonego członu czyli (Mm)v₂²/2 oraz energii odpalonego członu czyli mv²/2, w E' energie te sumuje się, znak przy „v” nie ma znaczenia, ponieważ energia kinetyczna jest dodatnia bez względu na kierunek ruchu, E_O=(Mm)v₂²/2+mv²/2Mv₁²/2=M(Mm)(v₂v₁)²/2m=2.4·10⁶J

78. Masa całkowita obejmuje sanki i dziecko ale nie piłkę.

Rzut; zakładamy, że trwał krótko, więc siła tarcia nie zdążyła zauważalnie wpłynąć na rzut, można zastosować zasadę zach. pędu, przed rzutem układ jest nieruchomy więc ma zerowy pęd p=0, pęd po rzucie p'=Mv₀mv, przyjmijmy kierunek ruchu sanek za dodatni, v₀ - prędkość sanek tuż po rzucie piłki, v - prędkość piłki (przeciwna do sanek, czyli ujemna), p'=p, stąd Mv₀mv, ruch sanek po rzucie ma=T, T=Mg, czyli a=g, s=v₀²/2a, v₀=
, stąd v=
·M/m=9.9m/s, praca przy rzucie przekształca się tuż po rzucie w energię sanek z dzieckiem Mv₀²/2 i piłki mv²/2, czyli W=mv²/2+Mv₀²/2=(Mm)Mgs/m=103J,

Chwyt; te same argumenty za stosowaniem zas. zach. pędu, pęd przed chwytem p=mv (tylko piłka), pęd tuż po chwycie p'=(Mm)v₀, p'=p, (Mm)v₀=mv, taki sam opis ruchu sanek, v=
·(M+m)/m=10.4m/s, przed chwytem energia układu E=mv²/2, tuż po chwycie energia układu E'=(M+m)v₀²/2, strata energii E - E'=(Mm)Mgs/m=103J

79. Energia układu przed trafieniem: skrzynia Mv₁²/2, pocisk mu²/2, razem Mv₁²/2 + mu²/2; energia układu po trafieniu E'=(M+m)v₂²/2, Strata energii δE=E - E'=[mu²+Mv₁²(M+m)v₂²]/2,

prędkość pocisku przed trafieniem wyznaczamy z zasady zachowania pędu, z analizy zadania wynika, że przed trafieniem prędkości skrzyni i pocisku miały przeciwne zwroty, za dodatni przyjęto zwrot prędkości skrzyni po trafieniu

a) pęd układu przed trafieniem p=Mv₁mu, pęd po trafieniu p'=(M+m)v₂, p'=p, (M+m)v₂=Mv₁mu, u=M(v₁v₂)/mv₂=172.6m/s, δE=[mu²+Mv₁²(M+m)v₂²]/2=M(M+m)(v₁v₂)²/2m=2267J

b) pęd układu przed trafieniem p=muMv₁, pęd po trafieniu p'=(M+m)v₂, p'=p, (M+m)v₂=muMv₁, u=M(v₁+v₂)/m+v₂=205m/s, δE=[mu²+Mv₁²(M+m)v₂²]=M(M+m)(v₁+v₂)²/2m=3185J

80. Ruch kulki odbywa się po łuku okręgu
istnieje siła dośrodkowa F_r=mu²/r, gdzie u jest prędkością kulki; w tym przypadku siła dośrodkowa jest różnicą naprężenia nici N i składowej ciężaru kulki Q_r=mgcos (wzdłuż nici), gdzie  jest kątem, jaki nić tworzy z pionem. Promień r tego okręgu jest sumą długości nici L i promienia kulki r_k, czyli r=L+r_k. Przyjmując, że kulka jest mała mamy r=L, zatem mu²/L=Nmgcos, stąd naprężenie N=m(u²/L+gcos), nić zerwie się, gdy dla pewnego kąta _k nastąpi N=N_k. Predkość u kulki w tym położeniu liczymy z zasady zachowania energii E'=E. Energia początkowa kulki jest sumą jej początkowej energii kinetycznej mu²/2 i początkowej energii potencjalnej mgh; energię potencjalną wygodnie jest liczyć względem najniższego punktu okręgu czyli h=L, zatem E=mv²/2+mgL. Gdy nić tworzy z pionem kąt  wtedy prędkość wynosi u, energia kinetyczna jest równa mu²/2, a energia potencjalna wynosi mgh', nietrudno wykazać, że h'=L-Lcos, więc energia kulki w tej chwili wynosi E'=mu²/2+mgL(1cos). Zas. zach. energii E'=E czyli mu²/2+mgL(1cos)=mv²/2+mgL co daje u²=v²+2gLcos i dalej N=mv²/L+3mgcos. Dla =_k jest N=N_k, stąd dostajemy cos_k=(N_kmv²/L)/3mg=0.85, _k=31.9^o

---