MATEMATYCZNA TEORIA STEROWANIA I JEJ ZASTOSOWANIE.

TEORIA STEROWANIA - nauka zajmująca się badaniem (analizą i syntezą) t.zw. procesów sterowanych a więc takich, na których przebieg (ewolucję) możemy celowo wpływać albo oddziaływać czyli sterować.

UKŁAD (SYSTEM, OBIEKT) - umownie wyodrębniony ze środowiska układ fizyczny bądź jego część. Wielkości charakteryzujące oddziaływanie środowiska na wyodrębniony układ to wielkości wejściowe. Wejścia dzielą się na; sterujące (sterowania) - wejścia zmieniane celowo, zakłócające - wielkości podlegające zmianom przypadkowym (losowym).

U(t) - wielkości sterujące

Z(t) - wielkości zakłócające

Wielkości charakteryzujące oddziaływanie układu na środowisko - (wielkości oddziałujące na środowisko) to wielkości wyjściowe (wyjścia).

STAN UKŁADU - zbiór wielkości (najmniejszy zbiór) x₁(t), x₂(t), x₃(t), ... , x_n(t), którego znajomość w chwili t₀ oraz znajomość wejść przedziałów (t₀, t pozwala wyznaczyć stan i odpowiedzi (wyjścia) układu w chwili t, przy założeniu że t>t₀.

MODEL MATEMATYCZNY UKŁADU - układ równań różniczkowych
, x = f (t, x, u), x(t₀) = x⁰, który otrzymuje się przez stosowanie odpowiednich praw fizyki do określonego obiektu.

Równania stanu:

=
i = 1, 2, 3, .... , n

= f₁(t₁, x₁....x_n , u₁....u_n) x₁(t₀) = x₁

= f₂(t₁, x₁....x_n , u₁....u_n) x₂(t₀) = x₂

. . Układ równań różniczkowych w postaci normalnej.

= f_n(t₁, x₁....x_n , u₁....u_n) x_n(t₀) = x_n

„Teoria sterowania”, tom 2, Kaczmarek.

GŁÓWNE CECHY SYSTEMU STEROWANIA.

IDENTYFIKACJA MODELU - proces zajmujący się problemami wyznaczania wartości parametrów modeli matematycznych oraz oceną ich adekwatności w stosunku do modelowego procesu.

Podstawowe typy sterowań to:

U = U(t) - sterowanie w obwodzie otwartym - OPEN LOOP CONTROL

U = U(t, x) - sterowanie w obwodzie zamkniętym - CLOSE LOOP CONTROL, FEEDBACK

U = U(t, y) - sterowanie od wyjścia - OUTPUT FEEDBACK, (od wejścia - STATE FEEDBACK)

STEROWANIE W OBWODZIE OTWARTYM.

U(t) UKŁAD Y(t)

x = f(x, t, u)

STEROWANIE W OBWODZIE ZAMKNIĘTYM.

Zmienne sterowanie Wyjścia Y_i (i = 1,2,3...n)

Urzędzenie System sterowany

sterujące Zmienne stanu

i = 1,2,3...n

Sprzężenie zwrotne Urządzenie

pomiarowe

TRAJEKTORIA „RUCHU” sys. (przebiegu procesu) x_n = {x(t): t∈<t₀, u = u(t), x(t₀) = x⁰}, opisuje ewolucję (przebieg zmian) stanu systemu (procesu) w czasie.

Przykład układu sterowania.

Kinematyczny model ruchu statku w obszarze z prądem (statek jest traktowany jako punkt bez masy)

Problem Zermello

x₁

V (x_1k, x_2k)

V_x1

V_x2
=
V_x1=VcosU

x⁰ = (x₁, x₂)
=
V_x2=VsinU

Ψ = Ψ(t), U = Ψ - sterowanie, t₀ = 0

x₁(t) = V
= V(t - 0) + C = Vt + C

Dołączenie prądu:

Vpr =

x₁ = VcosΨ + ϕ₁(x₁, x₂)

x₂ = VsinΨ + ϕ₂(x₁, x₂)

Kryterium jakości sterowania.

Jeżeli wprowadzimy wskaźnik jakości t_k

J(U) = t_k - t₀ =
⇒ minimum

Problem Zermello jako problem sterowania optymalnego. Wyznaczyć program sterowania tak aby przejść z punktu x₀ do punktu x_k minimalizując kryterium J czyli w jak najkrótszym czasie.

MODEL NOMOTO dynamiki statku (jego ruchu).

T
(t) +
(t) = K
(t)

(t) - odchylenie od kursu zadanego

(t) - wychylenie płetwy sterowej

(t) <
_max - maksymalne wychylenie steru

T
(t) +
(t) = K
(t)

(t) +

(t) =

(t)

Równanie stanu:

x =
- wektor stanu

A i B - postacie macierzowe

(t)

L - długość statku

Δ- wyporność statku

V - szybkość statku

Ar - powierzchnia płetwy sterowej

C - współczynnik = 0.45

PROBLEM WYBORU KRYTERIUM KWADRATOWEGO (średniokwadratowego).

Parametr T, a więc i
zmienia się wraz z załadowaniem, przegłębieniem, prędkością statku. Może zmieniać znak zależnie od warunków pływania.

J(u) =
⇒ minimalizacja

(t) System

sterowania r

Sumator k₁

k₂

Problem sterowania - jak znaleźć
jako funkcję
i r (stanu) ,
(
, r) tak aby zminimalizować tę całkę (to kryterium).

x = Ax + Bu ,

L - długość statku

V - wyporność statku

V - szybkość statku

Ar - powierzchnia płetwy sterowej

C - współczynnik = 0.45

J(u) =

---