Definicja zdania

Zdaniem w logice nazywamy wypowiedź zbudowaną zgodnie z zasadami ustalonego języka, której można przypisać jednoznacznie jedną z dwu ocen: prawdę lub fałsz -nazywane wartościami logicznymi danego zdania i oznaczane odpowiednio symbolami
,
.

Definicja formy zdaniowej

Formą zdaniową nazywamy wypowiedź, która może zawierać zmienne, zbudowaną według takich samych reguł gramatycznych jak zdanie. Fakt, że
jest zmienną formy zdaniowej
oznaczamy pisząc
.

Uwaga 1. Każde zdanie jest formą zdaniową.

Uwaga 2. Istnieją formy zdaniowe nie będące zdaniami.

Zasada tworzenia zdań z form zdaniowych

Z formy zdaniowej można otrzymać zdanie na dwa sposoby:

1. Przez podstawienie w miejsce zmiennych, obiektów w stosunku do których będziemy mogli stosować oceny logiczne prawdziwości i fałszu.

2. Przez stosowanie kwantyfikatorów w odniesieniu do występujących w formie zdaniowej zmiennych. Stosowanie kwantyfikatora dużego do formy
   oznacza utworzenie zdania
   , które czytamy: „ dla każdego elementu
   ze zbioru
   jest
   ”. Stosowanie kwantyfikatora małego do formy
   oznacza utworzenie zdania
   , które czytamy: „ istnieje element
   ze zbioru
   taki, że
   ”.

Definicja

Jeśli zakresem zmienności zmiennej
w formie
jest zbiór
, to zbiór tych wszystkich elementów zbioru
, które podstawione w miejsce zmiennej
w formie
dają zdanie prawdziwe oznaczamy jako
.

Przykład. Przedział domknięty
gdzie
,
są liczbami rzeczywistymi takimi, że
można zapisać jako
.

Zasada weryfikacji prawdziwości zdań złożonych

Oceny prawdziwości zdań złożonych dokonujemy na podstawie informacji o prawdziwości ich składników zgodnie z następującymi ustaleniami:

1	1	0	1	1	1	1
1	0	0	0	1	0	0
0	1	1	0	1	1	0
0	0	1	0	0	1	1

2. 
   jest prawdą wtedy i tylko wtedy gdy
   


jest prawdą wtedy i tylko wtedy gdy





Definicja tautologii

Prawem logicznym albo tautologią nazywamy zdanie złożone, które jest prawdziwe niezależnie od wartości logicznych zdań składowych.

Wykaz ważniejszych tautologii

Zasada prowadzenia dowodu

Każdy element rozumowania zwanego dowodem w dowolnej teorii matematycznej daje się uzasadnić tautologią albo aksjomatem tej teorii.

Definicja iloczynu kartezjańskiego zbiorów

Iloczynem kartezjańskim zbiorów
i
nazywamy zbiór wszystkich par uporządkowanych
takich, że
i
. Iloczyn kartezjański zbiorów
i
oznaczamy jako
.

Definicja funkcji

Każdy podzbiór
iloczynu kartezjańskiego
zbiorów
i
nazywamy funkcją odwzorowującą zbiór
w zbiór
o ile spełnia on następujące dwa warunki:

1. 
   

2. 
   .

Fakt, że
jest funkcją odwzorowującą zbiór
w zbiór
oznaczamy pisząc
. Zbiór funkcji odwzorowujących
w
oznaczamy jako
.

Definicja funkcji różnowartościowej

Jeśli
to mówimy, że
jest różnowartościowa jeśli spełnia następujący warunek:







Definicja funkcji odwzorowującej zbiór X na zbiór Y

Jeśli
to mówimy, że
odwzorowuje zbiór
na zbiór
jeśli spełnia następujący warunek:


.

Definicja funkcji wzajemnie jednoznacznej

Jeśli
to mówimy, że
jest funkcją wzajemnie jednoznaczną jeśli jest funkcją różnowartościową odwzorowującą zbiór
na zbiór
.

Definicja funkcji odwrotnej

Niech
będzie funkcją wzajemnie jednoznaczną. Wówczas zbiór
jest funkcją wzajemnie jednoznaczną odwzorowującą zbiór
na zbiór
. Nazywamy go funkcją odwrotną do funkcji
i oznaczamy jako
.

Definicja złożenia funkcji

Niech
,
przy czym
. Zbiór
jest funkcją odwzorowująca zbiór
w zbiór
. Nazywamy go złożeniem funkcji
i
i oznaczamy jako
.

Definicja obrazu zbioru przez funkcję

Niech
. Dla dowolnego zbioru
zbiór
nazywamy obrazem zbioru
przez funkcję
i oznaczamy jako
.

Definicja przeciwobrazu zbioru przez funkcję

Niech
. Dla dowolnego zbioru
zbiór
nazywamy przeciwobrazem zbioru
przez funkcję
i oznaczamy jako
.

Definicja dziedziny i zbioru wartości funkcji

Niech f : X → Y. Wówczas zbiór X nazywamy dziedziną funkcji i oznaczamy jako Df natomiast f[X] nazywamy zbiorem wartości funkcji i oznaczamy jako Wf.

Przykłady rodzin funkcji

Niech f : X → Y.

• Jeśli X ⊂ R i Y = R, to funkcję f nazywać będziemy funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej.

• Jeśli X = N i Y = R, to funkcję f nazywać będziemy nieskończonym ciągiem liczbowym o wyrazach rzeczywistych.

• Jeśli X = N i Y = N i f jest funkcją wzajemnie jednoznaczną, to f nazywać będziemy permutacją zbioru liczb naturalnych.

• Jeśli X = {1, 2, ..., m}×{1, 2, ..., n} oraz Y = R, to funkcję f nazywać będziemy macierzą o m wierszach i n kolumnach.




Ciągłość. Niech x₀ ∈ R.

Definicja otoczenia, sąsiedztwa i punktu skupienia

Niech a, b ∈ R i a < x₀ < b. Otoczeniem (otoczeniem lewostronnym, prawostronnym) punktu x₀ nazywamy przedział (a, b) ((a, x₀], [x₀ , b)). Rodzinę zbiorów będących otoczeniami (otoczeniami lewostronnymi, prawostronnymi) punktu x₀ oznaczać będziemy symbolem O(x₀) (O ^-(x₀), O⁺(x₀)). Każdy zbiór postaci U \ {x₀}, gdzie U ∈ O(x₀) (U ∈ O ^-(x₀), U ∈ O⁺(x₀)) nazywać będziemy sąsiedztwem (sąsiedztwem lewostronnym, prawostronnym) punktu x₀. Rodzinę zbiorów będących sąsiedztwami (sąsiedztwami lewostronnymi, prawostronnymi) oznaczać będziemy symbolem S(x₀) (S ^-(x₀), S⁺(x₀)).

Niech X ⊂ R. Mówimy, że x₀ jest punktem skupienia (lewostronnym, prawostronnym punktem skupienia) zbioru X, jeśli


(
,
).

Zbiór punktów skupienia (lewostronnych, prawostronnych punktów skupienia) zbioru X oznaczamy jako X^d (X^d-, X^d+).

Niech f będzie funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej.

Definicja granicy funkcji

Niech x₀ ∈ (Df)^d (x₀ ∈ (Df)^d-, x₀ ∈ (Df)^d+ ). Mówimy, że g ∈ R jest granicą (granicą lewostronną, prawostronną) funkcji f w punkcie x₀, gdy


(
,
).

Fakt, że g jest granicą (granicą lewostronną, prawostronną) zapisujemy symbolicznie


(
,
).

Definicja ciągłości funkcji

Niech x₀ ∈ Df.

f jest ciągła w x₀ ⇔ x₀ ∉ (Df)^d ∨


f jest lewostronnie ciągła w x₀ ⇔ x₀ ∉ (Df)^d- ∨


f jest prawostronnie ciągła w x₀ ⇔ x₀ ∉ (Df)^d+ ∨


Niech X ⊂ R. Mówimy, że f jest ciągła w zbiorze X, gdy jest ciągła w każdym punkcie tego zbioru. Zbiór punktów ciągłości funkcji f oznaczać będziemy przez Cf.

Uwaga. Funkcja jest ciągła w punkcie x₀ wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła lewostronnie i prawostronnie w tym punkcie.

Rodzaje nieciągłości - definicja

Niech x₀ ∈ Df. Mówimy, że x₀ jest punktem nieciągłości pierwszego rodzaju funkcji f, jeśli istnieją i są skończone granice
,
przy czym
lub
Mówimy, że x₀ jest punktem nieciągłości drugiego rodzaju, jeśli x₀ ∉ Cf i x₀ nie jest punktem nieciągłości pierwszego rodzaju.

Twierdzenia o funkcjach ciągłych

Twierdzenie Weierstrassa-Darboux. Niech a, b ∈ R, a < b, [a, b] ⊂ Cf. Wówczas funkcja f jest ograniczona na [a, b]. Ponadto

1. 
   ;

2. 
   ;

3. 
   

Twierdzenie o klasie funkcji ciągłych

Funkcje elementarne są ciągłe. Działania algebraiczne wykonywane na funkcjach ciągłych dają funkcje ciągłe. Złożenia funkcji ciągłych są funkcjami ciągłymi. Funkcje odwrotne do funkcji ciągłych (o ile istnieją) też są funkcjami ciągłymi.

Uwaga. Jeśli x₀ ∈ Cf i f(x₀) > 0, to


Definicja ciągłości jednostajnej

Niech X ⊂ Df. Mówimy, że funkcja f jest jednostajnie ciągła na X, jeśli




Uwaga. Jeśli f jest jednostajnie ciągła na zbiorze X, to jest ciągła w każdym punkcie tego zbioru.

Uwaga. Istnieją funkcje ciągłe w każdym punkcie zbioru X lecz nie będące jednostajnie ciągłymi na tym zbiorze.

Uwaga. Funkcja ciągła na przedziale domkniętym i ograniczonym jest na tym przedziale jednostajnie ciągła.

SZEREGI LICZBOWE

Definicja szeregu

Niech
będzie ciągiem liczbowym. Szeregiem liczbowym nazywamy ciąg
gdzie
. Taki szereg liczbowy oznaczamy symbolem
. Liczbę
nazywamy n-tym wyrazem, a liczbę
- n-tą sumą tego szeregu.

Definicja szeregu zbieżnego, rozbieżnego i sumy szeregu

Mówimy, że szereg
jest zbieżny jeśli ciąg
jest zbieżny do granicy skończonej zwanej w tym przypadku sumą szeregu i oznaczanej symbolem identycznym z symbolem szeregu.

Mówimy, że szereg
jest rozbieżny gdy nie jest zbieżny.

Twierdzenie o kombinacji liniowej szeregów

Jeśli szeregi
,
są zbieżne odpowiednio do liczb
i
, to dla dowolnych liczb rzeczywistych
,
zbieżny jest również szereg
przy czym suma tego szeregu wynosi
.

Twierdzenie o zbieżności szeregu geometrycznego

Szereg
zwany szeregiem geometrycznym o podstawie
jest zbieżny wtedy i tylko wtedy gdy
.

Twierdzenie o zbieżności szeregu harmonicznego

Szereg
zwany szeregiem harmonicznym rzędu
jest zbieżny wtedy i tylko wtedy gdy
.

Warunek konieczny zbieżności szeregu

Jeśli szereg
jest zbieżny to
.

Niech
i
oznaczają szeregi liczbowe.

Uwaga. Jeśli ciągi
i
różnią się skończoną ilością wyrazów, to oba szeregi
i
są jednocześnie zbieżne lub rozbieżne.

KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW

Kryterium porównawcze

Jeśli
to ze zbieżności szeregu
wynika zbieżność szeregu
i z rozbieżności szeregu
wynika rozbieżność szeregu
.

Kryterium ilorazowe

Jeśli
oraz
, to oba szeregi
i
są jednocześnie zbieżne lub rozbieżne.

Kryterium Cauchy'ego

Jeśli
to
jest zbieżny gdy
i rozbieżny gdy
.

Kryterium d'Alemberta

Jeśli
oraz
to szereg
jest zbieżny gdy
i rozbieżny gdy
.

Kryterium Raabego

Jeśli
oraz
to szereg
jest zbieżny gdy
i rozbieżny gdy
.

Twierdzenie o zagęszczaniu

Jeśli
jest ciągiem nierosnącym o wyrazach nieujemnych to szeregi
i
są jednocześnie zbieżne lub rozbieżne.

Kryterium Dirichleta

Jeśli ciąg sum częściowych szeregu
jest ograniczony oraz
jest ciągiem nierosnącym zbieżnym do zera to szereg
jest zbieżny.

Kryterium Abela

Jeśli szereg
jest zbieżny i ciąg
jest monotoniczny i ograniczony, to szereg
jest zbieżny.

Kryterium Leibniza

Jeśli
jest ciągiem nierosnącym zbieżnym do 0, to szereg
zwany szeregiem naprzemiennym jest zbieżny.

Definicja zbieżności bezwzględnej

Mówimy, że szereg
jest bezwzględnie zbieżny, gdy zbieżny jest szereg
.

Uwaga Każdy szereg zbieżny bezwzględnie jest zbieżny.

Uwaga Istnieją szeregi zbieżne lecz nie bezwzględnie zbieżne.

Definicja szeregu zbieżnego warunkowo

Szereg zbieżny lecz nie bezwzględnie zbieżny nazywamy szeregiem zbieżnym warunkowo.

Twierdzenie

Jeśli szereg
jest bezwzględnie zbieżny, to dla dowolnej permutacji
liczb naturalnych szereg
jest zbieżny i ma taką samą sumę jak szereg
.

Twierdzenie Cauchy'ego

Jeśli szeregi
i
są bezwzględnie zbieżne, to szereg
jest zbieżny przy czym suma tego szeregu wynosi
gdzie
oznacza sumę szeregu
, a
sumę szeregu
.

Twierdzenie Riemanna

Niech
będzie szeregiem warunkowo zbieżnym. Dla dowolnego
istnieje permutacja
zbioru liczb naturalnych taka, że
jest sumą szeregu
.

CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE

Przyjmijmy, że
.

Definicja ciągu funkcyjnego

Ciągiem funkcyjnym określonym na zbiorze
nazywamy każdą funkcję odwzorowującą zbiór
w zbiór
. Załóżmy, że
. Wówczas dla oznaczenia ciągu funkcyjnego, którego n-tym wyrazem jest funkcja
używamy oznaczenie
.

Niech
oznacza ciąg funkcyjny taki, że
. Niech
.

Definicja zbieżności punktowej ciągu funkcyjnego

Mówimy, że ciąg
jest punktowo zbieżny na zbiorze
do funkcji
jeśli
.

Definicja zbieżności jednostajnej ciągu funkcyjnego

Mówimy, że ciąg
jest jednostajnie zbieżny na zbiorze
do funkcji
jeśli
.

Fakt, że
jest punktowo zbieżny do funkcji
na zbiorze
oznaczamy pisząc
.

Fakt, że
jest jednostajnie zbieżny do funkcji
na zbiorze
oznaczamy pisząc


.

Twierdzenie

Jeśli


to
.

Uwaga Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.

Twierdzenie Weierstrassa

Niech
dla
. Wówczas


Twierdzenie

Jeśli
i
jest ciągła na X, to również f jest ciągła na X.

Definicja funkcji przedziałami liniowej

Niech
,
i niech
. Funkcję f nazywamy przedziałami liniową na przedziale
jeśli f jest ciągła na
oraz jeśli istnieją układy liczb
oraz
oraz
takie, że


Twierdzenie

Każda funkcja ciągła w przedziale domkniętym jest granicą jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji przedziałami liniowych na tym przedziale.

Definicja szeregu funkcyjnego

Niech
będzie ciągiem funkcyjnym takim, że
. Szeregiem funkcyjnym nazywamy ciąg funkcyjny
gdzie
. Taki szereg funkcyjny oznaczamy symbolem
. Funkcję
nazywamy n-tym wyrazem a funkcję
nazywamy n-tą sumą tego szeregu.

Definicja zbieżności punktowej i jednostajnej szeregu funkcyjnego

Szereg funkcyjny
jest punktowo (jednostajnie) zbieżny na zbiorze X gdy ciąg funkcyjny
jest punktowo (jednostajnie) zbieżny na tym zbiorze.

Funkcję będącą granicą ciągu funkcyjnego
o ile ona istnieje nazywamy sumą szeregu
i oznaczamy tak jak sam szereg.

Wniosek. Szereg funkcyjny
jest punktowo zbieżny na zbiorze X wtedy i tylko wtedy gdy
jest zbieżny.

Wniosek. Jeśli szereg funkcyjny
jest jednostajnie zbieżny na zbiorze X, to jest punktowo zbieżny na tym zbiorze.

Twierdzenie Weierstrassa

Niech
będzie szeregiem funkcyjnym funkcji określonych na zbiorze X, a
szeregiem liczbowym zbieżnym takim, że
.

Wówczas szereg
jest jednostajnie zbieżny oraz
jest bezwzględnie zbieżny.

Definicja szeregu potęgowego

Niech
i niech
dla
. Załóżmy, że


jest funkcją taką, że



jest funkcją taką, że
dla
i
.

Szereg funkcyjny
nazywamy szeregiem potęgowym o środku w punkcie
i współczynnikach
. Oznaczamy go symbolicznie jako
.

Definicja promienia zbieżności szeregu potęgowego

Liczbę
nazywamy promieniem zbieżności szeregu potęgowego
.

Uwaga. Promień zbieżności szeregu potęgowego nie zależy od jego środka
a jedynie od współczynników
dla
.

Uwaga. Promień zbieżności szeregu potęgowego jest zawsze liczbą nieujemną.

Niech R oznacza promień zbieżności szeregu potęgowego
.




Twierdzenie Cauchy'ego - Hadamarda

1. Jeśli
   , to
   

2. Jeśli
   , to
   

Twierdzenie o punktach zbieżności szeregu potęgowego

Jeśli R = 0, to szereg
jest zbieżny jedynie dla
.

Jeśli R = ∞, to szereg
jest zbieżny bezwzględnie dla dowolnego
.

Jeśli R
, to szereg
jest zbieżny bezwzględnie dla dowolnego
oraz rozbieżny dla
.

Definicja przedziału zbieżności szeregu potęgowego

Przedziałem zbieżności szeregu
nazywamy zbiór


Twierdzenie

Szereg potęgowy
jest zbieżny jednostajnie w każdym przedziale domkniętym zawartym w przedziale zbieżności szeregu potęgowego.

Niech
będzie funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej

Definicja ilorazu różnicowego

Niech
oraz
. Ilorazem różnicowym funkcji
pomiędzy punktami
i
nazywamy liczbę
.

Załóżmy, że
wraz z pewnym otoczeniem (otoczeniem lewostronnym, otoczeniem prawostronnym).

Definicja pochodnej .

Pochodną (pochodną lewostronną, prawostronną) funkcji
w punkcie
nazywamy granicę
(
,
) o ile ona istnieje. Oznaczamy ją wtedy jako
(
,
).

Definicja różniczkowalności funkcji.

Mówimy, że funkcja
jest różniczkowalna (różniczkowalna lewostronnie, prawostronnie) w punkcie
jeśli ma w tym punkcie skończoną pochodną (pochodną lewostronną, prawostronną).

Mówimy, że funkcja
jest różniczkowalna w przedziale otwartym, jeśli jest różniczkowalna w każdym punkcie tego przedziału.

Mówimy, że funkcja
jest różniczkowalna w przedziale domkniętym, jeśli jest różniczkowalna w każdym punkcie wewnętrznym tego przedziału, oraz prawostronnie różniczkowalna w lewym krańcu i lewostronnie różniczkowalna w prawym krańcu.

Definicja kąta nachylenia.

Niech
będzie dowolną prostą na płaszczyźnie
w której
oznacza oś odciętych. Jeśli
, to przyjmujemy, że kątem nachylenia prostej
jest zero. Jeśli
to przyjmujemy, że kątem nachylenia prostej
jest kąt, którego jednym z ramion jest
, a drugim odcinek
przebiegający w górnej półpłaszczyźnie.

Interpretacja geometryczna ilorazu różnicowego i pochodnej.

Prostą przechodzącą przez punkty,
,
nazywać będziemy sieczną. Zauważmy, że iloraz różnicowy funkcji
pomiędzy punktami
i
jest tangensem kąta nachylenia siecznej. Przy ustalonym
i
zmierzającym do
zauważamy, że sieczne wyznaczone przez te punkty przyjmują w granicy o ile ona istnieje położenie prostej, którą nazwiemy styczną do wykresu funkcji w punkcie
. Pozwala to na spostrzeżenie, że pochodna funkcji jest tangensem kąta nachylenia stycznej do wykresu funkcji w punkcie
.

Wniosek.

Równanie stycznej do wykresu funkcji w punkcie
ma postać
.

Definicja.

Normalną do wykresu funkcji f w punkcie
nazywamy prostą prostopadłą do stycznej w tym punkcie i przechodzącą przez ten punkt.

Definicja.

Niech funkcje f i g przecinające się w punkcie o odciętej będą różniczkowalne w
. Kątem przecięcia wykresów funkcji f i g nazywamy nie większy od prostego kąt
, pomiędzy stycznymi do wykresów tych funkcji w punkcie ich przecięcia.

Wniosek.
.

Twierdzenie.

Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w pewnym punkcie, to jest w tym punkcie ciągła.

Uwaga. Twierdzenie odwrotne jest fałszywe.

Twierdzenie.

Jeżeli f i g są różniczkowalne w punkcie
oraz
, to funkcje

[Author ID0: at Tue Aug 14 13:07:00 2001 ][Author ID0: at Tue Aug 14 13:07:00 2001 ][Author ID0: at Tue Aug 14 13:07:00 2001 ]
[Author ID0: at Tue Aug 14 13:07:00 2001 ]są różniczkowalne w tym punkcie, oraz prawdziwe są wzory:

[Author ID0: at Tue Aug 14 13:10:00 2001 ][Author ID0: at Tue Aug 14 13:10:00 2001 ]
[Author ID0: at Tue Aug 14 13:10:00 2001 ]

Ostatni wzór jest prawdziwy przy dodatkowym założeniu, że
.

Uwaga. Twierdzenie powyższe jest prawdziwe również dla pochodnych jednostronnych oraz dla pochodnych niewłaściwych, o ile nie występują symbole nieoznaczone.

Twierdzenie (o pochodnej funkcji złożonej).

Jeśli funkcja
jest różniczkowalna w punkcie
, zaś funkcja
jest różniczkowalna w punkcie
to funkcja
jest różniczkowalna w punkcie
przy czym [Author ID0: at Tue Aug 14 13:19:00 2001 ][Author ID0: at Tue Aug 14 13:19:00 2001 ]
[Author ID0: at Tue Aug 14 13:19:00 2001 ].

Twierdzenie (o pochodnej funkcji odwrotnej)

Niech
. Jeśli
jest ciągłą i różnowartościową funkcją różniczkowalną w punkcie
, taką, że
, to funkcja odwrotna
jest różniczkowalna w punkcie
i
.

Uwaga. Twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej i pochodnej funkcji odwrotnej są prawdziwe również dla pochodnych jednostronnych i dla pochodnych niewłaściwych, o ile nie występują symbole nieoznaczone.

Wzory na pochodne funkcji elementarnych














































Definicja różniczki .

Niech funkcja f będzie różniczkowalna w punkcie
. Różniczką funkcji f w punkcie
nazywamy funkcję liniową, która dowolnej liczbie rzeczywistej
przypisuje liczbę
. Różniczkę funkcji f w punkcie
będziemy oznaczać jako
.

Uwaga. Zauważmy, że różniczka funkcji identycznościowej obliczana w dowolnym punkcie przypisuje dowolnej liczbie rzeczywistej
nią samą. Stąd wniosek, że
. Ponieważ różniczka funkcji f w dowolnym punkcie
to
, więc możemy zapisać, że
. W powyższym wzorze
jest funkcją,
jest funkcją, a
jest liczbą. Wzór ten można zapisać w postaci
. Jest on oczywiście prawdziwy dla dowolnego argumentu
i stwierdza, że iloraz dwóch różniczek jest funkcją stałą. Argument
z przyczyn praktycznych w powyższym wzorze nie występuje.

Definicja pochodnej rzędu n (indukcja).

Załóżmy, że
wraz z pewnym otoczeniem, oraz że zdefiniowaliśmy już pochodną
funkcji
rzędu
w każdym punkcie wspomnianego otoczenia. Jeśli
jest funkcją różniczkowalną w punkcie
to jej pochodną w tym punkcie nazywać będziemy pochodną rzędu
funkcji
w punkcie
. Pochodną rzędu
funkcji
w punkcie
oznaczać będziemy jako
. Przyjmujemy ponadto, że
.

Twierdzenie

Jeżeli f i g mają pochodne rzędu
w punkcie
, to funkcja
ma pochodną rzędu n w punkcie
i wyraża się ona wzorem


(wzór Leibniza).

Załóżmy, że
.

Twierdzenie (ROLLE'A)

Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale [Author ID0: at Tue Aug 14 14:56:00 2001 ][Author ID0: at Tue Aug 14 14:56:00 2001 ]
[Author ID0: at Tue Aug 14 14:56:00 2001 ], różniczkowalna w przedziale [Author ID0: at Tue Aug 14 14:57:00 2001 ][Author ID0: at Tue Aug 14 14:57:00 2001 ][Author ID0: at Tue Aug 14 14:57:00 2001 ]
[Author ID0: at Tue Aug 14 14:57:00 2001 ], oraz [Author ID0: at Tue Aug 14 14:58:00 2001 ][Author ID0: at Tue Aug 14 14:58:00 2001 ]
[Author ID0: at Tue Aug 14 14:58:00 2001 ], to istnieje przynajmniej jeden punkt [Author ID0: at Tue Aug 14 14:59:00 2001 ][Author ID0: at Tue Aug 14 14:59:00 2001 ]
[Author ID0: at Tue Aug 14 14:59:00 2001 ] taki, że
.

Twierdzenie (CAUCHE'EGO )

Jeżeli funkcje
i
są ciągłe w przedziale [Author ID0: at Tue Aug 14 14:56:00 2001 ][Author ID0: at Tue Aug 14 14:56:00 2001 ][Author ID0: at Tue Aug 14 14:56:00 2001 ]
[Author ID0: at Tue Aug 14 14:56:00 2001 ], różniczkowalne w przedziale [Author ID0: at Tue Aug 14 14:57:00 2001 ][Author ID0: at Tue Aug 14 14:57:00 2001 ]
[Author ID0: at Tue Aug 14 14:57:00 2001 ] to istnieje przynajmniej jeden punkt [Author ID0: at Tue Aug 14 14:59:00 2001 ][Author ID0: at Tue Aug 14 14:59:00 2001 ]
[Author ID0: at Tue Aug 14 14:59:00 2001 ] taki, że
.

Twierdzenie (LAGRANGEA).

Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale [Author ID0: at Tue Aug 14 14:56:00 2001 ][Author ID0: at Tue Aug 14 14:56:00 2001 ]
[Author ID0: at Tue Aug 14 14:56:00 2001 ]i różniczkowalna w przedziale [Author ID0: at Tue Aug 14 14:57:00 2001 ][Author ID0: at Tue Aug 14 14:57:00 2001 ]
[Author ID0: at Tue Aug 14 14:57:00 2001 ], to istnieje punkt [Author ID0: at Tue Aug 14 14:59:00 2001 ][Author ID0: at Tue Aug 14 14:59:00 2001 ]
[Author ID0: at Tue Aug 14 14:59:00 2001 ] taki, że
.

Powyższe trzy twierdzenia zwane są twierdzeniami o wartości średniej.

Twierdzenie.

Niech funkcja
będzie różniczkowalna w przedziale [Author ID0: at Tue Aug 14 14:56:00 2001 ][Author ID0: at Tue Aug 14 14:56:00 2001 ]
[Author ID0: at Tue Aug 14 14:56:00 2001 ].

1. Jeśli
   to funkcja f jest stała w przedziale I.

2. Jeśli
   to funkcja f jest rosnąca w przedziale I.

3. Jeśli
   to funkcja f jest niemalejąca w przedziale I.

4. Jeśli
   to funkcja f jest malejąca w przedziale I.

5. Jeśli
   to funkcja f jest nierosnąca w przedziale I.

Twierdzenie.

Jeżeli funkcja
jest różniczkowalna w przedziale I oraz jest niemalejąca w tym przedziale, to
.

Twierdzenie.

Jeżeli funkcja
jest różniczkowalna w przedziale I, to jest ona rosnąca w tym przedziale, wtedy i tylko wtedy, gdy
oraz zbiór
nie zawiera przedziału.

Twierdzenie.

Niech
,
będą funkcjami różniczkowalnymi na przedziale I oraz niech
. Jeżeli
oraz
, to
.

Twierdzenie. (REGUŁA DE L'HOSPITALA)

Niech
i
będą funkcjami różniczkowalnymi w pewnym sąsiedztwie
punktu
oraz
. Jeżeli
, oraz istnieje granica
(właściwa lub nie), to istnieje również granica
przy czym
.

Uwaga: twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.

Twierdzenie (WZÓR TAYLORA)

Jeśli funkcja f ma ciągłą pochodną rzędu
w przedziale
oraz pochodną rzędu
w przedziale
, to istnieje punkt
taki, że
. Ostatni składnik sumy występującej w powyższym wzorze oznaczać będziemy jako
i nazywać resztą w postaci Lagrange'a. Tak więc


Wniosek. Dla
otrzymujemy twierdzenie Lagrange'a.

Uwaga Wzory twierdzeń o wartości średniej i wzór Taylora są prawdziwe również w przypadku, gdy
.

Wniosek. Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy
, to otrzymujemy wzór Maclaurina
.

Twierdzenie.

Załóżmy, że funkcja
ma pochodną dowolnego rzędu
w przedziale
. Jeśli
, to
.

Uwaga. Założenie istnienia pochodnych dowolnego rzędu
nie wystarcza do udowodnienia powyższego wzoru nawet wtedy, gdy wzbogacić je założeniem zbieżności szeregu
.

Wniosek. Załóżmy, że funkcja
ma pochodną dowolnego rzędu
w przedziale pomiędzy liczbami
i
. Jeśli
, to


Twierdzenie.

Jeśli
, to
ma pochodną dowolnego rzędu
w każdym punkcie
położonym wewnątrz przedziału zbieżności szeregu
przy czym
dla
, oraz
dla.
.

Twierdzenie (o różniczkowaniu ciągu funkcyjnego)

Załóżmy, że
jest ciągiem funkcyjnym złożonym z funkcji mających ciągłe pochodne na przedziale
. Jeśli
, oraz


, to
jest różniczkowalna na
, przy czym
.

Załóżmy teraz, że funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu punktu
.

Definicja.

Funkcja f osiąga w punkcie
maksimum (minimum) lokalne, jeżeli
(
).

Definicja.

Funkcja f osiąga w punkcie
maksimum (minimum) lokalne właściwe, jeżeli
(
).

Maksima i minima funkcji nazywamy ekstremami tej funkcji.

Twierdzenie Fermata. (warunek konieczny istnienia ekstremum).

Jeżeli funkcja f ma ekstremum lokalne w punkcie
oraz jest różniczkowalna w tym punkcie, to
.

Twierdzenie. ( I warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego .

Załóżmy, że
. Przyjmijmy, że
jest ciągła na
i różniczkowalna na
. Jeśli
to
ma w punkcie
minimum właściwe. Jeśli
to
ma w punkcie
maksimum właściwe.

Twierdzenie. (II warunek wystarczający).

Jeżeli funkcja f ma pochodną rzędu
w pewnym otoczeniu punktu
, ciągłą w punkcie
, oraz
,
, to w przypadku gdy n jest liczbą parzystą, funkcja f ma ekstremum lokalne w punkcie
. Jest to maksimum właściwe, gdy
, zaś minimum właściwe, gdy
. Jeśli n jest liczbą nieparzystą, to f nie ma ekstremum lokalnego w punkcie
.

Definicja ekstremum absolutnego.

Niech
i niech f będzie funkcją rzeczywistą taka, że
. Mówimy, że
osiąga w punkcie
maksimum (minimum) absolutne na zbiorze A, jeżeli




Twierdzenie

Niech
będzie ciągła w przedziale
i różniczkowalna w
. Funkcja
osiąga w tym przedziale swoje ekstrema absolutne w punktach zbioru


Definicja.

Załóżmy, że
jest funkcją różniczkowalną w punkcie
. Funkcję
nazywamy wypukłą (wklęsłą) w punkcie
jeśli
(
). Funkcję
nazywamy wypukłą (wklęsłą) na przedziale
, gdy jest wypukła (wklęsła) w każdym punkcie tego przedziału.

Twierdzenie (warunek wystarczający wypukłości (wklęsłości))

Załóżmy, że istnieje druga pochodna funkcji
w przedziale
. Jeśli
(
) to funkcja
jest wypukła (wklęsła) na
.

Definicja punktu przegięcia

Mówimy, że funkcja
ciągła w punkcie
ma w punkcie
punkt przegięcia, jeśli funkcja ta jest wypukła (wklęsła) na pewnym lewostronnym sąsiedztwie punktu
i wklęsła (wypukła) na pewnym prawostronnym sąsiedztwie punktu
.

Twierdzenie (warunek konieczny istnienia punktu przegięcia )

Jeśli funkcja
ma pochodną rzędu drugiego w pewnym otoczeniu punktu
ciągłą w
i
jest punktem przegięcia funkcji
to
.

Twierdzenie ( I warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia).

Załóżmy, że
. Przyjmijmy, że
ma pochodną rzędu pierwszego na
i pochodną rzędu drugiego na
. Jeśli
lub
to
ma w punkcie
punkt przegięcia.

Twierdzenie. (II warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia

Jeżeli funkcja f ma pochodną rzędu
w pewnym otoczeniu punktu
, ciągłą w punkcie
, oraz
,
, to w przypadku gdy n jest liczbą nieparzystą, funkcja f ma w punkcie
punkt przegięcia.. Jeśli n jest liczbą parzystą, to f nie ma punktu przegięcia w punkcie
.

Definicja asymptoty pionowej

Załóżmy, że
jest funkcją określoną na pewnym sąsiedztwie punktu
. Prostą o równaniu
nazywamy asymptotą pionową funkcji
gdy
.

Definicja asymptoty ukosnej

Załóżmy, że
jest funkcją określoną na pewnym przedziale
. Prostą o równaniu
nazywamy asymptotą ukośną w minus nieskończoności (plus nieskończoności) funkcji
gdy
(
).

Twierdzenie o współczynnikach asymptoty ukośnej

Prosta o równaniu
jest asymptotą ukośną funkcji
w minus nieskończoności (plus nieskończoności) wtedy i tylko wtedy gdy
(


Definicja (funkcji pierwotnej).

Funkcję F nazywamy funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeśli




Gdy I jest przedziałem domkniętym (I=[a,b]) lub jednostronnie domkniętym (I=[a,b) lub I=(a,b]), to przez pochodną funkcji w punktach a i b należy rozumieć pochodną jednostronną, odpowiednio F'₊(a) i F'_-(b).

Twierdzenie (Podstawowe własności funkcji pierwotnych)

Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I. Wówczas

(1) każda funkcja postaci F(x)+C, gdzie C=const, jest również funkcją pierwotną funkcji f

(2) jeśli ponadto funkcja G jest też funkcja pierwotną funkcji f na przedziale I, to G=F+C na przedziale I, gdzie C=const.

Uwaga:

Z powyższego twierdzenia wynika, że funkcje pierwotne funkcji f na przedziale I mają postać:

(*) F(x)+C gdzie cR i F jest pewną funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I

oraz tylko funkcje postaci (*) są funkcjami pierwotnymi funkcji f na przedziale I.

Definicja (całki nieoznaczonej).

Niech F będzie funkcja pierwotną funkcji f na przedziale I. Całką nieoznaczoną funkcji f na przedziale I nazywamy zbiór funkcji:

{F(x)+C: CR}

i oznaczamy
.

Uwaga

Działania i operacje na całkach nieoznaczonych oznaczają działania i operacje na funkcjach pierwotnych reprezentujących te całki. Jeśli F jest pewną funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, to zapisujemy
, gdzie CR.

Bezpośrednio z definicji całki nieoznaczonej wynikają następujące

Wnioski:

Niech funkcja f ma funkcję pierwotną na przedziale I. Wtedy:

(1)


(2)


Twierdzenie

Niech dany będzie punkt x₀ wewnątrz przedziału I i niech dana będzie dowolna liczba y₀R. Jeśli funkcja f posiada funkcję pierwotną w przedziale I, to istnieje tylko jedna funkcja pierwotna F taka, że F(x₀)=y₀.

Uwaga:

Geometrycznie twierdzenie to oznacza, że przez każdy punkt płaszczyzny o odciętej xI przechodzi krzywa całkowa (tzn. wykres funkcji pierwotnej). Ponieważ krzywe całkowe są do siebie równoległe, więc przez każdy punkt płaszczyzny przechodzić może tylko jedna krzywa całkowa danej funkcji f.

Bezpośrednio z definicji całki nieoznaczonej wynikają następujące wzory na całki nieoznaczone ważniejszych funkcji elementarnych:













Twierdzenie (o liniowości całki nieoznaczonej)

Jeżeli funkcje f i g mają funkcje pierwotne na przedziale I, to:

(1)


(2)


Twierdzenie (o całkowaniu granicy ciągu funkcyjnego)

Jeżeli funkcje f_n są ciągłe i posiadają funkcje pierwotne w przedziale I oraz ciąg {f_n} jest jednostajnie zbieżny do funkcji f na przedziale I, to funkcja f również posiada funkcję pierwotną i zachodzi równość




Korzystając z powyższego twierdzenia dowodzi się

Twierdzenie (warunek wystarczający istnienia funkcji pierwotnej)

Każda funkcja ciągła na przedziale I posiada w tym przedziale funkcję pierwotną

Twierdzenie (o całkowaniu szeregu funkcyjnego)

Jeżeli funkcje f_n są ciągłe i posiadają funkcje pierwotne w przedziale I oraz szereg funkcyjny
jest jednostajnie zbieżny do funkcji f na przedziale I, to funkcja f również posiada funkcję pierwotną i zachodzi równość:




Twierdzenie (o całkowaniu przez części)

Jeżeli funkcje f i g mają ciągłe pochodne, to


Twierdzenie (o całkowaniu przez podstawienie)

Jeżeli :

1) funkcja f: I→R jest ciągła na przedziale I

2) funkcja
ma ciągłą pochodną na przedziale
,

to
+c , gdzie F jest dowolną funkcją pierwotną funkcji f oraz cR.

Definicja (całki oznaczonej Riemanna).

Niech f będzie funkcją ograniczoną na przedziale [a,b] i niech zbiór P_n={x₀, x₁,…, x_n} oznacza podział odcinka [a,b] na n części, przy czym a= x₀< x₁<…< x_n=b. Niech

x_k=x_k-x_k-1 oznacza długość k-tego odcinka podziału P_n, gdzie 1kn oraz δ(P_n)=max{x_k: 1kn} oznacza średnicę podziału P_n, zaś x_k^*[ x_k-1, x_k] oznacza punkt pośredni k-tego odcinka podziału P_n, gdzie 1kn.

Sumą całkową funkcji f na przedziale [a,b] odpowiadającą podziałowi P_n oraz punktom pośrednim x_k^* tego podziału gdzie 1kn, nazywamy liczbę


.

Całkę oznaczoną Riemanna z funkcji f na przedziale [a,b] definiujemy wzorem;




o ile istnieje granica właściwa występująca po prawej stronie znaku równości oraz granica ta nie zależy od sposobu podziałów P_n przedziału [a,b] ani od sposobu wyboru punktów pośrednich x_k^*, gdzie 1kn. Ponadto przyjmujemy
dla a<b.

Funkcję, dla której istnieje całka oznaczona Riemanna na [a,b] nazywamy funkcją całkowalną na [a,b].

Uwaga

Każda funkcja całkowalna jest ograniczona, ale nie każda funkcja ograniczona na przedziale jest na nim całkowalna np. funkcja Dirichleta na przedziale [0,1].

Twierdzenia o funkcjach całkowalnych w sensie (R)

Twierdzenie 1

Jeżeli funkcja f jest całkowalna na przedziale I=[a,b], to jest również całkowalna na każdym podprzedziale [c,d]I.

Twierdzenie 2

Jeśli f jest całkowalna na przedziale I, zaś  jest funkcją ciągłą, to funkcja f jest całkowalna na I.

Twierdzenie 3.

Jeśli a=t₀< t₁<… t_n-1< t_n=b oraz f jest całkowalna na każdym przedziale [t_i,t_i+1], i{0,…,n-1}, to f jest całkowalna na [a,b].

Twierdzenie 4 (warunek wystarczający całkowalności)

Jeśli funkcja f jest ograniczona na przedziale [a,b] i ma na tym przedziale skończoną liczbę punktów nieciągłości I rodzaju, to jest na nim całkowalna.

Uwaga *

Z powyższego twierdzenia wynika, że funkcja ciągła na przedziale jest na nim całkowalna. Z drugiej strony funkcja całkowalna na przedziale może mieć nieskończenie wiele punktów nieciągłości.

Twierdzenie 5

Jeśli funkcja f jest monotoniczna i ograniczona na przedziale [a,b], to jest całkowalna na [a,b].

Twierdzenie 6 (Newtona - Leibnitza, I podstawowe twierdzenie rachunku całkowego)

Jeśli funkcja f jest ciągła na przedziale [a,b], to
, gdzie F oznacza dowolną funkcję pierwotną funkcji f na tym przedziale. Różnicę F(b)-F(a) oznaczamy
.

Twierdzenie 7 (o liniowości całki oznaczonej)

Jeżeli funkcja f i g są całkowalne na przedziale [a,b], to

1)


2)
gdzie cR

Twierdzenie 8 (o całkowaniu przez części)

Jeżeli funkcje f i g mają ciągłe pochodne na przedziale [a,b], to




Twierdzenie 9 (o całkowaniu przez podstawienie)

Jeżeli:

1) funkcja
ma ciągłą pochodną na przedziale [,]

2) ()=a, ()=b,

3) funkcja f jest ciągła na [a,b],

wówczas
.

Twierdzenie 10 (o równości całek)

Niech funkcja f będzie całkowalna na przedziale [a,b] oraz niech funkcja g różni się od funkcji f tylko w skończonej liczbie punktów tego przedziału. Wtedy funkcja g także jest całkowalna na przedziale [a,b] oraz


.

Twierdzenie 11 (addytywność całki względem przedziału całkowania)

Jeżeli funkcja f jest całkowalna na przedziale [a,b] oraz c(a,b), to




Twierdzenie 12 (o zachowaniu nierówności przy całkowaniu)

Jeżeli funkcja f i g spełniają warunki:

1) są całkowalne na przedziale [a,b],

2)


to


Uwaga

Jeżeli nierówność w założeniu twierdzenia jest ostra, to także nierówność w tezie jest ostra.

Twierdzenie 13 (o całce funkcji nieparzystej, parzystej i okresowej)

Jeżeli funkcja f jest całkowalna oraz

1) jest nieparzysta, to
;

2) jest parzysta, to
;

3) ma okres T, to
.

Twierdzenie 14

Jeżeli f jest całkowalna na przedziale [a,b] oraz istnieją liczby m, MR takie, że




wówczas
.

Definicja (wartości średniej funkcji)

Niech f będzie całkowalną na przedziale [a,b]. Wartością średnią funkcji f na przedziale [a,b] nazywamy liczbę


.

Twierdzenie 15 (całkowe o wartości średniej funkcji)

Jeżeli f jest ciągła na przedziale [a,b], to


.

Twierdzenie 16 (nierówność Schwartza)

Jeśli f i g są całkowalne na przedziale [a,b], to




Definicja (funkcji górnej granicy całkowania)

Niech funkcja f będzie całkowalna na przedziale [a,b] oraz niech c[a,b]. Funkcję
, gdzie x[a,b], nazywamy funkcja górnej granicy całkowania.

Twierdzenie 17 (o ciągłości funkcji górnej granicy całkowania)

Jeżeli funkcja f jest całkowalna na przedziale [a,b] i c[a,b], to funkcja
, gdzie x[a,b] jest ciągła na przedziale [a,b].

Twierdzenie 18 (II główne twierdzenie rachunku całkowego)

Jeżeli funkcja f jest całkowalna na przedziale [a,b] oraz ciągła w punkcie x₀[a,b], to funkcja
, gdzie c[a,b], ma pochodną właściwą w punkcie x₀ oraz
.

Uwaga

Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale [a,b], to jej funkcja górnej granicy całkowania F jest funkcją pierwotną funkcji f.

Twierdzenie 19 (O całkowaniu ciągu funkcyjnego)

Jeżeli ciąg {f_n}_n∈N funkcji ciągłych na przedziale [a,b] jest zbieżny jednostajnie do funkcji f na [a,b], to




Twierdzenie 20 (O całkowaniu szeregu funkcyjnego)

Jeżeli funkcje f_n, dla n=1, 2, …, są ciągłe na przedziale [a,b] i szereg
jest zbieżny jednostajnie do funkcji f na [a,b], to




Z powyższego twierdzenia jako bezpośredni wniosek mamy

Twierdzenie 21 (O całkowaniu szeregów potęgowych)

Niech 0<R≤+∞ będzie promieniem zbieżności szeregu potęgowego
, wówczas
ma ten sam promień zbieżności R oraz




dla każdego t∈(x₀-R, x₀+R).

Zastosowania geometryczne całki oznaczonej.

1) Pole figury płaskiej

Twierdzenie 1

Niech krzywa AB będzie określona równaniem y=f(x) dla x[a,b], gdzie f jest funkcją dodatnią i ciągłą w przedziale [a,b]. Wtedy pole P trapezu krzywoliniowego ograniczonego krzywa AB z góry oraz prostymi y=0, x=a, x=b, wyraża się wzorem:


.

Wniosek 1

Jeżeli krzywa AB ograniczająca z góry trapez krzywoliniowy P opisany w twierdzeniu 1 jest określona za pomocą równań parametrycznych:

(*)


gdzie x=a dla t=, x=b dla t=, funkcje x i y mają ciągłe pochodne i y jest dodatnia w przedziale [,], zaś krzywa AB nie ma punktów wielokrotnych, wówczas pole trapezu krzywoliniowego P wyraża się wzorem:


.

Wniosek 2

Jeżeli trapez krzywoliniowy P określony jest następująco:




gdzie funkcje f₁ i f₂ są ciągłe na przedziale [a,b] oraz f₁(x)f₂(x) dla każdego x[a,b], wtedy pole trapezu krzywoliniowego wyraża się wzorem:


.

Twierdzenie 2

Niech AOB będzie wycinkiem ograniczonym krzywa AB i dwoma promieniami Oa i OB. (z których każdy może być punktem) i niech krzywa AB będzie określona równaniem biegunowym:




gdzie g jest funkcją ciągłą i dodatnią w przedziale
. Wtedy pole P wycinka AOB wyraża się wzorem:


.

Wniosek 3

Jeśli krzywa AB jest określona równaniami parametrycznymi (*) i spełnia założenia z wniosku 1, wówczas pole wycinka AOB wyraża się wzorem:


.

2) Długość łuku krzywej

Twierdzenie 3

Jeżeli łuk l dany jest równaniami parametrycznymi:




przy czym nie ma punktów wielokrotnych oraz funkcje x i y posiadają ciągłe pochodne na przedziale [,], to długość l łuku l wyraża się wzorem:


.

Twierdzenie 4

Jeżeli łuk l dany jest równaniem jawnym
, gdzie f jest funkcją posiadającą ciągłą pochodną na przedziale [a,b], wówczas długość l tego łuku wyraża się wzorem:


.

Twierdzenie 5

Jeżeli łuk l dany jest równaniem biegunowym
, gdzie g jest funkcją nieujemną posiadającą ciągłą pochodną na przedziale
, wówczas długość l łuku l wyraża się wzorem:


.

3) Objętość bryły obrotowej.

Twierdzenie 6 (objętość bryły)

Niech S(x), gdzie x∈[a.b], oznacza pole przekroju bryły V płaszczyzną prostopadłą do osi OX w przestrzeni X oraz niech S będzie funkcją ciągłą na przedziale [a,b]. Wtedy objętość bryły V wyraża się wzorem;


.

Twierdzenie 7 (objętość bryły obrotowej)

Niech
, gdzie f jest funkcją ciągłą na przedziale [a,b], oznacza trapez krzywoliniowy. Wtedy objętość bryły V powstałej z obrotu trapezu krzywoliniowego D wokół osi 0x wyraża się wzorem:


.

4) Pole powierzchni obrotowej.

Twierdzenie 8

Niech krzywa AB będzie dana równaniem
, gdzie f jest funkcją nieujemną posiadającą ciągłą pochodną na przedziale [a,b]. Wówczas pole powierzchni S powstałej w wyniku obrotu krzywej AB dokoła osi Ox wyraża się wzorem:


.

Twierdzenie 9

Niech krzywa AB będzie dana równaniami parametrycznymi:




gdzie funkcje x i y posiadają ciągłe pochodne i y jest nieujemna na przedziale
, oraz krzywa AB nie posiada punktów wielokrotnych. Wówczas pole powierzchni S powstałej w wyniku obrotu krzywej AB wokół osi Ox wyraża się wzorem:


.

Całki niewłaściwe

W rozważaniach tego rozdziału będziemy zakładać, że wszystkie funkcje sa całkowalne na dowolnym przedziale domkniętym zawartym w ich dziedzinie.

Definicja (całki niewłaściwej pierwszego rodzaju)

Niech funkcja f: [a, +∞) →R. Całką niewłaściwą pierwszego rodzaju z funkcji f na półprostej [a, +∞) definiujemy następująco:


.

Jeżeli granica po prawej stronie znaku równości jest właściwa, to mówimy, że całka niewłaściwa z funkcji f na [a, +∞)jest zbieżna. Jeżeli granica ta jest równa +∞ lub -∞, to mówimy, że całka jest rozbieżna odpowiednio do +∞ lub do -∞. W pozostałych przypadkach mówimy, że całka jest rozbieżna.

Analogicznie definiuje się całkę niewłaściwą pierwszego rodzaju z funkcji f na (-∞,b], a mianowicie:


.

Niech f: R→R. Całkę niewłaściwą z funkcji f na prostej (-∞, +∞) definiujemy następująco:


,

gdzie a oznacza dowolną liczbę rzeczywistą. Jeżeli obie całki po prawej stronie znaku równości są zbieżne, to mówimy, że całka niewłaściwa z funkcji f na (-∞, +∞) jest zbieżna.

Uwaga:

Zbieżność całki niewłaściwej na (-∞, +∞) nie zależy od wyboru liczby a.

Wniosek:

Całka niewłaściwa postaci
, gdzie a>0, jest zbieżna dla p>1 i rozbieżna do +∞ dla p≤1.

Analogiczny fakt jest prawdziwy dla całek
, gdzie b<0, o ile funkcja podcałkowa jest poprawnie określona.

Kryteria zbieżności całek niewłaściwych pierwszego rodzaju

Twierdzenie 1 (Kryterium porównawcze)

Niech funkcje f i g spełniają warunek:




Wówczas:

1. jeśli całka
   jest zbieżna, to także całka
   jest zbieżna;

2. jeśli całka
   jest rozbieżna, to także całka
   jest rozbieżna.

Uwaga:

Twierdzenie to zachodzi także dla funkcji f i g niedodatnich. Ponadto prawdziwe są analogiczne twierdzenie dla całek niewłaściwych na półprostej (-∞,b].

Twierdzenie 2 (Kryterium ilorazowe)

Niech funkcje f i g będą dodatnie (ujemne) na półprostej [a, +∞) oraz niech spełniają warunek:


, gdzie 0<k<+∞. Wówczas całki
i
są jednocześnie zbieżne albo rozbieżne.

Definicja (zbieżności bezwzględnej całek niewłaściwych I rodzaju).

Całka niewłaściwa pierwszego rodzaju z funkcji f jest zbieżna bezwzględnie, gdy zbieżna jest całka niewłaściwa z funkcji f.

Twierdzenie 3

Jeżeli całka niewłaściwa z funkcji f jest zbieżna bezwzględnie, to jest zbieżna. Ponadto


.

Definicja (całek niewłaściwych drugiego rodzaju)

Niech funkcja f: (a,b]→R będzie nieograniczona tylko na prawostronnym sąsiedztwie punktu a. Całką niewłaściwą drugiego rodzaju z funkcji f na (a,b] definiujemy następująco:


.

Jeżeli granica po prawej stronie znaku równości jest właściwa, to mówimy, że całka niewłaściwa z funkcji f na (a,b] jest zbieżna. Jeżeli granica ta jest równa +∞ lub -∞, to mówimy, że całka jest rozbieżna odpowiednio do +∞ lub -∞. W pozostałych przypadkach mówimy, że całka jest rozbieżna.

Analogicznie definiuje się całkę niewłaściwa drugiego rodzaju z funkcji f:{a,b) i nieograniczonej na lewostronnym sąsiedztwie punktu b:


.

Niech funkcja f: [a,c)∪(c,b]→R będzie nieograniczona tylko na obu jednostronnych sąsiedztwach punktu c. Całka niewłaściwą z funkcji f na [a,b] definiujemy następująco:


.

Jeżeli obie całki po prawej stronie znaku równości są zbieżne to mówimy, że całka niewłaściwa z funkcji f na [a,b] jest zbieżna.

Analogicznie, jeśli f: (a,b)→R jest nieograniczona na prawostronnym sąsiedztwie punktu a i na lewostronnym sąsiedztwie punktu b, to całkę niewłaściwą z funkcji f na (a,b) definiujemy następująco:




gdzie d jest dowolnym punktem przedziału (a,b), przy czym zbieżność powyższej całki niewłaściwej nie zależy od wyboru punktu d.

Uwaga 1

Dla całek niewłaściwych drugiego rodzaju (analogicznie jak dla całek niewłaściwych pierwszego rodzaju) całka niewłaściwa postaci


, gdzie b>0

jest zbieżna dla p<1 i rozbieżna do +∞ dla p≥1.

Uwaga 2

Dla całek niewłaściwych drugiego rodzaju z funkcji f na przedziale (a,b] ( lub [a,b) ) prawdziwe są kryteria zbieżności porównawcze i ilorazowe analogiczne jak dla całek pierwszego rodzaju w twierdzeniach 1 i 2.

Twierdzenie 4 (Kryterium całkowe zbieżności szeregów)

Niech funkcja f: [n₀, +∞)→[0, +∞), gdzie n₀∈N, będzie nierosnąca. Wówczas
i całka niewłaściwa
są jednocześnie zbieżne albo rozbieżne.

Wiadomości uzupełniające.

1. Szeregi Taylora i Maclaurina

Definicja (Szeregu Taylora)

Niech funkcja f ma w punkcie x₀ pochodne dowolnego rzędu. Szereg potęgowy




nazywamy szeregiem Taylora funkcji f o środku w punkcie x₀. Jeżeli x₀=0, to szereg ten nazywamy szeregiem Maclaurina funkcji f.

Uwaga

Ze zbieżności szeregu Maclaurina funkcji f wynika, że jego suma jest równa tej funkcji.

Twierdzenie (O rozwijaniu funkcji w szereg Taylora).

Jeżeli:

1. funkcja f ma w otoczeniu U(x₀) pochodne dowolnego rzędu,

2. dla każdego x∈U(x₀)
   , gdzie




oznacza n-tą resztę we wzorze Taylora dla funkcji f.

Wówczas:


dla każdego x∈U(x₀).

Uwaga

Zamiast założenia (20 można przyjąć:

(2') wszystkie pochodne funkcji f są wspólnie ograniczone, tzn.




Twierdzenie (O jednoznaczności rozwinięcia funkcji w szereg potęgowy)

Jeżeli
dla każdego x z pewnego otoczenia U(x₀), to
dla n=0,1,2,…

2. Ciągi i szeregi ortogonalne

Niech V={f:[a,b]→R; f-całkowalna w sensie Riemanna na [a,b]}. V jest przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych z dodawaniem funkcji i mnożeniem funkcji przez liczbę. W przestrzeni V określamy iloczyn skalarny następująco:


;

oraz określamy normę kwadratową funkcji f:


.

Definicja

Ciąg funkcyjny {f_n}_n∈N nazywamy ortogonalnym na [a,b], jeżeli (f_n,f_m)=0 dla n≠m i
dla wszystkich n.

Definicja

Jeżeli {c_n}_n∈N jest ciągiem liczbowym, zaś {f_n}_n∈N jest ciągiem funkcyjnym ortogonalnym w przedziale [a,b], to szereg funkcyjny
nazywamy szeregiem ortogonalnym.

Twierdzenie (O szeregu ortogonalnym)

Jeżeli szereg ortogonalny
jest jednostajnie zbieżny do funkcji f w przedziale [a,b] i funkcja ta jest całkowalna na [a,b], to współczynniki c_n wyrażają się wzorami:




Uwaga

Dla każdego ciągu ortogonalnego w przedziale [a,b] i funkcji f całkowalnej w tym przedziale istnieje więc co najwyżej jeden taki szeteg ortogonalny, który jest jednocześnie zbieżny w tym przedziale do funkcji f. Jeżeli taki szereg istnieje, to jest nim szereg
, gdzie
.

Liczby c_n określone powyższymi wzorami nazywamy współczynnikami Fouriera funkcji f względem ciągu {f_n}_n∈N.

3. Szereg trygonometryczny Fouriera

Lemat

Ciąg funkcyjny {ϕ_n}_n∈N określony następująco:




gdzie l>0, jest ciągiem funkcji okresowych o okresie 2l, ortogonalnych w przedziale [-l,l] (ogólniej: w każdym przedziale [a, 2l+a] ), przy czym
,
.

Wniosek

Współczynniki Fouriera funkcji f(x) w przedziale [a, 2l+a] względem ciągu ortogonalnego {ϕ_n}_n∈N wyrażają się następująco:




Definicja (Szeregu trygonometrycznego Fouriera)

Szereg Fouriera funkcji f(x) względem ciągu ortogonalnego {ϕ_n}_n∈N w przedziale [-l, l] zapisujemy tradycyjnie:


,

gdzie a₀=c₀, a_n=c_2n-1, b_n=c_2n określone są wzorami z powyższego wniosku. Szereg ten nazywamy trygonometrycznym szeregiem Fouriera funkcji f(x) w przedziale [-l, l] i zapisujemy

f(x)~


Uwaga

Wychodząc od dowolnej funkcji całkowalnej f(x) i określając współczynniki a₀, a_n, b_n wzorami Fouriera nie otrzymujemy na ogół w powyższym wyrażeniu równości. Funkcja musi spełniać dość silne warunki, aby równość zachodziła.

Definicja

Mówimy, że funkcja f(x) spełnia w przedziale [a,b] warunki Dirichleta, jeżeli:

1. f(x) jest przedziałami monotoniczna w (a,b)

2. f(x) jest ciągła w przedziale (a,b), z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów nieciągłości pierwszego rodzaju (tzn. istnieją skończone granice jednostronne w tych punktach), przy czym w każdym punkcie nieciągłości x₀ spełniony jest warunek:


, gdzie
i


3. w końcach przedziału [a,b] zachodzą równości:


.

Uwaga:

Jest wiadome, że funkcja spełniająca warunki Dirichleta w przedziale [a,b] jest całkowalna w sensie Riemanna w [a,b].

Twierdzenie (Dirichleta)

Jeżeli funkcja f(x) spełnia w przedziale [a, 2l+a] warunki Dirichleta, to jest rozwijalna w tym przedziale w szereg trygonometryczny Fouriera




dla x∈[a, 2l+a] o współczynnikach zadanych wzorami z wniosku powyżej. Jeśli ponadto funkcja f(x) jest okresowa o okresie 2l, to równość powyższa zachodzi dla każdego x z dziedziny funkcji.

Uwaga

Jeśli funkcja f(x) spełniająca w przedziale [-l, l] warunki Dirichleta jest parzysta, to rozwija się w szereg Fouriera postaci:


.

Jeśli natomiast f(x) jest nieparzysta w [-l, l], to jej szereg Fouriera jest równy:


.

35

---