Systemy sterowania

Obiektowo zorientowana reprezentacja systemów

W MATLABie do opisu systemów zastosowano mechanizmy obiektowe. Oznacza to, że opis systemu jest reprezentowany przez nazwę obiektu, z którym związane są pola danych, które można określić jako własności obiektu i operacje, które na tych danych można wykonywać, które nazywamy metodami. Dzięki zastosowaniu mechanizmów obiektowych uproszczono składnię i zmniejszono liczbę funkcji. Możliwe jest tworzenie obiektów systemowych dla trzech różnych form opisu

• transmitancji systemu

• zer, biegunów, wzmocnienia

• równań stanu.

Można budować systemy typu zarówno SISO jak i MIMO, ciągłe i dyskretne.

Tworzenie obiektów systemowych

Opis w postaci transmitancji (tf)

num = [2 5 1];

den = [1 2 3];

sys1 = tf(num, den)

Współczynniki wielomianów licznika i mianownika funkcji transmitancji podajemy w kolejności malejącej.

Argumenty macierzowe można podać bezpośrednio w wywołaniu funkcji tf

sys2 = tf(1,[1 1])

W systemach MIMO opis ma postać macierzy transmitancji
,gdzie l jest liczbą wyjść obiektu, a s liczbą jego wejść,
jest transmitancją między j-tym wejściem, a i-tym wyjściem obiektu. Argumenty funkcji tf mają postać zbiorów macierzy liczników i mianowników elementów macierzy transmitancji.

N = {[3 1];[1 0 2 5]}

D = {[3 5 2 1];[3 5 2 1]}

sys3 = tf(N,D)

tak jak i poprzednio argumenty funkcji można wpisać bezpośrednio w wywołaniu funkcji

sys3 = tf({[3 1];[1 0 2 5]},{[3 5 2 1];[3 5 2 1]})

W ogólnym przypadku N(i,j) jest wektorem wierszowym zawierającym współczynniki wielomianu licznika
, a D(i,j) jest wektorem wierszowym współczynników mianownika
.

b) Opis w formie zera bieguny wzmocnienie (zpk)

K - wielkość skalarna (wzmocnienie),
- zera funkcji transmitancji,
- bieguny. Zera i/lub bieguny mogą być wielkościami zespolonymi.

Systemy SISO tworzymy za pomocą funkcji zpk, podając jako argumenty wektory zer, biegunów i wzmocnienie. Np. wywołanie

sys1=zpk(0,[1-i, 1+i, 2],-2)

odpowiada transmitancji

Jeśli brak zera, jako argument podajemy macierz pustą []

sys2 = zpk([],-1,1)

odpowiada transmitancji

Systemy MIMO wymagają podania funkcji zpk zbiorów macierzy zer, biegunów i macierz wzmocnień.

sys = zpk(Z,P,K)

Z - zbiór macierzy zer rozmiaru lxs, (Z{i,j} zawiera wektor wierszowy zer transmitancji

P - zbiór macierzy biegunów rozmiaru lxs, (P{i,j} zawiera wektor wierszowy biegunów transmitancji
.

K - macierz wzmocnień rozmiaru lxs (K(i,j) zawiera wzmocnienie transmitancji
.

Z = {[],-5;[1-i, 1+i],[]}

P = {0,[-1, -1];[1, 2, 3], []}

K = [-1, 3;2, 0]

sys3 = zpk(Z,P,K)

Opis w postaci równań stanu (ss)

Macierzowy postać równań stanu

sys = ss(A,B,C,D)

Na przykład dla opisu

sys = ss([0, 1;-1, 0],[0; 1],[1, 0], 0)

Systemy 2. rzędu

ord2 - generuje opis ciągłego systemu SISO 2. rzędu przy danej pulsacji własnej
i współczynniku tłumienia

Można utworzyć macierze opisu stanowego:

[A, B, C, D] = ord2(wn, z)

(wn - pulsacja własna, z - współczynnik tłumienia) lub współczynniki wielomianów licznika i mianownika funkcji transmitancji.

[licz, mian] = ord2(wn, z)

Znajdziemy odpowiedź na wymuszenie skokiem jednostkowym systemu z jednostkowym sprzężeniem zwrotnym, którego transmitancja przy otwartej pętli sprzężenia zwrotnego ma postać:

[licz, mian] = ord2(1,0.2);

sys = tf(licz, mian)

step(sys)

Odzyskiwanie danych o systemie na podstawie obiektu

Po utworzeniu systemu za pomocą funkcji opisanych wcześniej, możemy z powrotem odzyskać macierze odpowiednich współczynników systemu.

Dla obiektu sys reprezentującego transmitancję po wywołaniu

[num, den, Ts] = tfdata(sys)

MATLAB utworzy zbiory macierzy num , den ze współczynnikami wielomianów odpowiednio liczników i mianowników. Ts jest okresem próbkowania. Dla systemów ciągłych jest on zawsze równy 0. Wartość Ts = -1 oznacza, niezdefiniowany okres próbkowania. Wielkość Ts jest istotna dla systemów dyskretnych. Podobnie możemy uzyskiwać dane o systemach opisanych przez zera-bieguny-wzmocnienie

[z, p, k, Ts] = zpkdata( sys )

Zauważmy, że zarówno num, den jak i z, p i k są zbiorami macierzy (nawet dla systemu SISO)

Dla równań stanu mamy

[a, b, c, d, Ts] = ssdata(sys)

a, b, c, d są macierzami w opisie stanu systemu.

Podstawowe funkcje do analizy systemów

pole - wyznaczanie biegunów funkcji transmitancji

p = pole(sys)

Jeśli sys jest stanowym opisem systemu, to funkcja zwraca wartości własne macierzy A.

tzero - zera funkcji transmitancji

z = tzero(sys)

[z, k] = tzero(sys)

Po wywołaniu funkcji, z zawiera wektor zer, a k wzmocnienie (w zapisie zera-bieguny-wzmocnienie)

pzmap - graficzne przedstawienie zer i biegunów funkcji transmitancji na płaszczyźnie zespolonej s. Zera są reprezentowane przez `o', a bieguny przez `x'.

pzmap(sys)

[p, z] = pzmap(sys)

Drugi sposób wywołania umieszcza w p bieguny, a w z zera funkcji transmitancji. Wykres zer i biegunów nie jest wówczas rysowany.

damp - wyznacza bieguny oraz odpowiadające im współczynniki tłumienia i pulsacje własne systemu.

[wn, z] = damp(sys)

[wn, z, p] = damp(sys)

Po wywołaniu wektor wn zawiera pulsacje własne
,wektor z zawiera współczynniki tłumienia
. Drugie wywołanie umieszcza w wektorze p bieguny systemu.

step - wyznaczenie odpowiedzi skokowej na pobudzenie jednostkowe przy zerowych warunkach początkowych.

step(sys)

step(sys, t)

Drugie wywołanie szkicuje wykres w zadanym czasie, np. t=0:dt:Tf.

Można szkicować odpowiedzi wielu systemów na jednym wykresie:

step(sys1, ..., sysN)

step(sys1, ..., sysN,t)

Można stosować różne style i kolory linii:

step(sys1,'PlotStyle1', ..., sysN, `PlotStyleN')

Jeśli użyjemy jednego z wywołań

y = step(sys, t)

[y, t] = step(sys)

[y, t, x] = step(sys) % tylko dla opisu w formie równań stanu

to odpowiedzi zostaną wyznaczone i umieszczone w wektorze y bez szkicowania wykresów. Dla opisu stanowego wektor x przyjmie wartości stanu w momentach czasu określonych przez t.

impulse - odpowiedź impulsowa systemu przy zerowych warunkach początkowych. Dla systemów ciągłych jest to odpowiedź na pobudzenie deltą Diraca
. Składnia wywołania jest identyczna jak dla funkcji step.

lsim - wyznaczenie odpowiedzi czasowej systemu na dowolne pobudzenie.

lsim(sys, u, t)

wykreśla odpowiedź na pobudzenie, którego próbki zawiera wektor u, a odpowiadający mu czas wektor t. Próbki czasu powinny mieć równe odstępy, a więc t=0:dt:Tf. Wymiary u i t powinny być zgodne.

lsim(sys, u, t, x0)

lsim(sys1, ..., sysN, u, t)

lsim(sys1, ..., sysN, u, t, x0)

lsim(sys1, `PlotStyle1', ..., sysN, `PlotStyleN', u, t)

[y, t, x] = lsim(sys, u, t, x0)

rlocus - metoda miejsc geometrycznych. Metoda graficzna pozwalająca na wyznaczenie lokalizacji pierwiastków równania charakterystycznego systemu SISO na płaszczyźnie zespolonej s w zależności od pewnego parametru tego równania. Jeśli transmitancja otwartej pętli systemu ma postać
, gdzie K jest pewnym parametrem, to równanie charakterystyczne systemu z zamkniętą pętlą ujemnego sprzężenia zwrotnego ma postać
. Jest oczywiste, że położenie biegunów jest uzależnione od wartości K i ma ono z kolei pośredni wpływ na kształt charakterystyk czasowych i częstotliwościowych systemu. Przedstawienie graficzne linii pierwiastkowych wymaga znajomości transmitancji pętli systemu.

Przedstawimy linie pierwiastkowe dla systemu na rysunku poniżej

Transmitancja pętli jest równa
.

num = [1 6]; % licznik transmitancji

den = conv([1 4 0],[1 4 8]); %mianownik transmitancji

sys = tf(num, den) % transmitancja systemu

rlocus( tf); %wykreślenie linii pierwiastkowych

Poszczególne kolory odpowiadają różnym biegunom równania charakterystycznego

Funkcję rlocus można wywołać dla konkretnych wartości K,

K = 0:0.5:10;

rlocus(sys,K)

Przy wywołaniu

[r, K] = rlocus(sys)

r = rlocus(sys, K)

zwracany jest wektor z kolejnymi wartościami zespolonymi trajektorii biegunów oraz odpowiadający im wektor wzmocnień K. Wykres linii pierwiastkowych nie jest rysowany. Na rysunkach poniżej podano przykładowe konfiguracje systemu i sposób wyznaczenia transmitancji systemu.

sgrid - dorysowanie siatki na wykresie zer i biegunów (patrz pzmap) lub linii pierwiastkowych (rlocus)

rlocus(sys)

sgrid

rlocfind - znajdowanie wartości wzmocnienia K odpowiadającej wybranej lokalizacji biegunów równania charakterystycznego ciągłego lub dyskretnego systemu SISO. Przed wywołaniem tej funkcji aktywnym oknem graficznym powinno być okno z rysunkiem linii pierwiastkowych.

Analiza systemów w dziedzinie częstotliwości

bode - wyznaczenie logarytmicznych charakterystyk amplitudowo-fazowych systemu. Dla systemu opisanego transmitancją

następujące komendy szkicują wykresy Bodego

sys = zpk(-10, [0, -2, -5], 10);

bode(sys)

Zakres pulsacji odpowiadający osi odciętych jest dobierany automatycznie na podstawie zer i biegunów systemu. Można jednak wymusić szkicowanie wykresów w zadanym przedziale pulsacji

bode(sys, w)

gdzie w = {wmin, wmax} określa zakres pulsacji
, którą podajemy w rad/s.

w = {0.1, 1000}

bode( sys, w)

Możliwe jest (np. w celu porównania) szkicowanie wielu charakterystyk na jednym rysunku

bode(sys1, sys2,...,sysN)

bode(sys1, sys2,...,sysN, w)

Wykresy mogą być rysowane różnymi stylami

bode(sys1, `PlotStyle1',...,sysN, `PlotStyleN')

Porównajmy charakterystyki dwóch systemów:

sys1=tf(8, [1 6 12 8])

sys2=tf(2.31, [1, 2.936, 2.31]

bode(sys1, `r--`,sys2,'gx')

Wywołania z argumentami lewostronnymi dają wartości modułu i argumentu w podanym zakresie częstotliwości, lecz nie szkicują wykresu

[mag, phase, w] = bode(sys)

[mag, phase] = bode(sys)

mag - wzmocnienie, phase - faza w stopniach, w - zakres
w rad/s. Zamiana wzmocnienia na wartości w decybelach jest wykonywana komendą

magdb=20*log10(mag)

mag i phase - trójwymiarowe tablice o wymiarach

(liczba wyjść)x(liczba wejść)x(długość wektora w)

Dla systemów SISO, mag(1, 1, k) i phase(1, 1, k) są odpowiednio wartością wzmocnienia i fazy dla
. Systemy typu MIMO
oraz
, gdzie
jest transmitancją widmową systemu obliczoną dla pulsacji
.

Tworzenie systemów złożonych

append - grupowanie wejść i wyjść podsystemów

sys = append(sys1, ..., sysN)

Tworzenie modelu złożonego przedstawiono na rysunku

Jeśli systemy składowe mają funkcje transmitancji równe
,…,
, to wypadkowa macierz transmitancji jest blokowo diagonalna

.

Dla modeli stanowych sys1 i sys2 opisanych macierzami
i
wypadkowy model stanu wygląda następująco

,

.

parallel - połączenie równoległe systemów. Wynik działania funkcji wyjaśnia rysunek.

sys = parallel(sys1, sys2)

Taki sam efekt można uzyskać pisząc

sys = sys1 + sys2

Możliwe jest tworzenie ogólniejszych połączeń równoległych za pomocą wywołania

sys = parallel(sys1, sys2, inp1, inp2, out1, out2)

Parametry inp1 i inp2 są wektorami numerów wejść systemów odpowiednio sys1 i sys2, które mają być połączone równolegle i traktowane jako wejścia wspólne systemu złożonego. Wejścia te oznaczono jako
i
dla systemów odpowiednio sys1 i sys2. Analogicznie, parametry out1 i out2 są wektorami numerów wyjść systemów sys1 i sys2, które będą zsumowane. Sytuacja taka jest przedstawiona na rysunku.

series - połączenie szeregowe systemów. Wynik działania funkcji przedstawiono na rysunku.

sys = series(sys1, sys2)

Zamiast powyższej konstrukcji można zastosować operator mnożenia.

sys = sys1*sys2

Powyższe konstrukcje są równoważne.

Można tworzyć ogólniejsze połączenia przez wskazanie wyjść systemu sys1 i wejść systemu sys2, które mają być połączone. Składnia wywołania jest następująca:

sys = series(sys1, sys2, out1, in2)

out1 jest wektorem wyjść systemu sys1, a in2 wektorem wejść systemu sys2, które mają być połączone. Wywołanie komendy tworzy system przedstawiony na rysunku.

Wypadkowy system ma wejście u i wyjście y.

feedback - utworzenie systemu ze sprzężeniem zwrotnym. Wywołanie funkcji

sys = feedback(sys1, sys2)

tworzy system z ujemnym sprzężeniem zwrotnym, w którym w gałęzi sprzężenia zwrotnego znajduje się blok sys2. Rezultat przedstawiono na rysunku:

Znak sumowania w pętli można zmieniać podając dodatkowy argument. Komenda

sys = feedback(sys1, sys2, +1)

utworzy system o dodatnim sprzężeniu. W sytuacji, gdy parametr znaku jest pominięty, przyjmowane jest domyślnie ujemne sprzężenie zwrotne.

Ogólniej można tworzyć systemy ze sprzężeniem zwrotnym przy pomocy wywołań

sys = feedback(sys1, sys2, fin, fout)

sys = feedback(sys1, sys2, fin, fout, sign)

Zostanie wówczas utworzony system przedstawiony na rysunku. Wektor fin zawiera numery tych wejść systemu sys1, które są częścią pętli sprzężenia, natomiast fout zawiera numery wjść sys1, które biorą udział w pętli. Parametr sign reprezentuje znak sprzężenia. Domyślnie przyjęto znak ujemny. By utworzyć dodatnią pętlę piszemy

sys = feedback(sys1, sys2, fin, fout, +1)

Obiekty statyczne można podawać jako zwykłe macierze

sys = feedback(sys1, 2)

jednak co najmniej jeden z łączonych podsystemów powinien być obiektem. Jeśli np. łączymy dwa wzmacniacze o wzmocnieniach K1 i K2, to należy to zrobić następująco:

sys = feedback(tf(K1), K2)

Słownik ważniejszych pojęć

SISO (Single Input Single Output) - system o jednym wejściu i jednym wyjściu (system skalarny).

MIMO (Multiple Input Multiple Output) - systemy o wielu wejściach i wyjściach (systemy wielowymiarowe).

Charakterystyka czasowa - graficzne lub analityczne przedstawienie przebiegu czasowego odpowiedzi układu na określony sygnał wejściowy. Podstawowymi charakterystykami czasowymi dla układów liniowych są: odpowiedź impulsowa oraz odpowiedź na skok jednostkowy. Znajomość charakterystyk czasowych układu umożliwia ocenę jakości sterowania na podstawie odczytanych z wykresu wskaźników (np. przeregulowania, czasów narastania i regulacji).

Czas narastania - czas, który upływa od chwili zmiany sygnału wyjściowego układu o określonej wartości początkowej, wywołanej skokiem jednostkowym sygnału wejściowego do chwili, w której osiągnie on określoną część swej wartości ustalonej
. Praktycznie przyjmuje się, że jest to czas potrzebny do wzrostu amplitudy sygnału od 0,1 do 0,9 wartości ustalonej. W przypadku układu liniowego czas narastania nie zależy od wartości ustalonej. Jest on miarą inercyjności (wskaźnikiem szybkości odpowiedzi) układu i zależy od jego stałych czasowych.

Czas regulacji - czas, po upływie którego uchyb przejściowy wielkości regulowanej jest stale mniejszy od dopuszczalnego uchybu ustalonego.

Przeregulowanie - maksymalny uchyb wielkości regulowanej
od jej wartości ustalonej
wyrażony w jednostkach względnych:

.

Najczęściej rozpatruje się przeregulowanie w układach stabilnych analizując odpowiedź układu na wymuszenie skokowe.

Uchyb regulacji - różnica między wartością zadaną wielkości regulowanej a jej wartością rzeczywistą:
. Uchyb regulacji jest sumą dwóch składowych:
, gdzie
nazywa się uchybem w stanie ustalonym, a
- uchybem przejściowym., istniejącym w stanie nieustalonym. Uchyb regulacji jest sygnałem wejściowym regulatora. Wartość graniczną
nazywa się uchybem statycznym lub ustalonym. Wielkość ta stanowi miarę dokładności statycznej układu.

Dekada - dla zmiennej niezależnej ω dekada jest długością przedziału [ω, 10ω], bowiem
.

Oktawa - dla zmiennej niezależnej ω oktawa jest długością przedziału [ω, 2ω]. Mamy
, wobec tego 1 oktawa ≈ 0,3 dekady.

Decybel (dB) - jeśli dwie wielkości (np. rzędne na wykresie Bodego)
i
różnią się o 1 decybel to znaczy, że
. Zatem
lub
. Bel (B) jest jednostką większą równą 10 decybelom, tzn. 1 B = 10 dB.

Charakterystyka amplitudowo fazowa - w ogólnym przypadku
jest funkcją zespoloną zmiennej rzeczywistej ω, której moduł A(ω) jest nazywany charakterystyką amplitudową, a argument φ(ω) jest nazywany charakterystyką fazową. Logarytm
jest również funkcją zespoloną o składowej rzeczywistej
i składowej urojonej
.

Wykresy Bodego charakterystyki amplitudowo fazowej są to a) wykres
w funkcji logarytmu dziesiętnego pulsacji ω, b) wykres fazy
w funkcji logarytmu dziesiętnego pulsacji ω. Na wykresach tych jednostką osi odciętych
jest dekada. Jednostką osi rzędnych
charakterystyki amplitudowej jest decybel, a jednostką osi rzędnych charakterystyki fazowej
jest stopień.

Transmitancja minimalnofazowa - transmitancja, której wszystkie zera i bieguny znajdują się w lewej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej s. Układy minimalnofazowe charakteryzują się tym, że na podstawie charakterystyki amplitudowej możemy w sposób jednoznaczny wyznaczyć ich charakterystykę fazową i na odwrót, przy danej charakterystyce fazowej można jednoznacznie wyznaczyć charakterystykę amplitudową. Własności tej nie posiadają układy nieminimalnofazowe.

Transmitancja nieminimalnofazowa - transmitancja, która posiada bieguny i/lub zera zlokalizowane w prawej półpłaszczyźnie.

Stabilność względna systemu jest określona przez parametry takie jak zapas wzmocnienia i zapas fazy, które pozwalają na określenie „jak daleko” system znajduje się od granicy stabilności wyznaczonej przez punkt (-1, j0). Parametry te wyznaczamy na ogół metodą graficzną na podstawie wykresów Bodego lub Nyquista układów o minimalnofazowej transmitancji pętli. Transmitancję pętli wyraża się iloczynem transmitancji gałęzi głównej
i transmitancji gałęzi sprzężenia zwrotnego
.

Zapas wzmocnienia w decybelach wyrażamy zależnością

.

W celu jego obliczenia trzeba wyznaczyć pulsację
, przy której wykres Nyquista przecina lewą półoś rzeczywistą (patrz rysunek), co zachodzi przy warunku

.

Zapas fazy w stopniach określamy jako kąt, o który należy obrócić wykres Nyquista transmitancji
tak by punkt jego przecięcia z okręgiem jednostkowym pokrył się z punktem (-1, j0); patrz rysunek. Wyrażamy go wzorem

.

W celu jego obliczenia należy wyznaczyć pulsację
, dla której wykres Nyquista przecina okrąg jednostkowy, co zachodzi przy warunku

.

Wykres Nyquista charakterystyki amplitudowo fazowej we współrzędnych kartezjańskich
,
, gdy ω zmienia się od 0 do ∞. Równoważnie można ten wykres definiować we współrzędnych biegunowych
),
.

Wykres Nicholsa charakterystyki amplitudowo fazowej nazywamy wykres Nyquista jej logarytmu, tzn. zbiór wszystkich wartości funkcji
na płaszczyźnie zespolonej przy ω zmieniającym się od 0 do ∞. Jednostką osi rzędnych jest dB, a odciętych stopień.

Szczyt rezonansowy M_p maksymalna wartość modułu charakterystyki amplitudowej
.

Pulsacja rezonansowa ω_p - pulsacja, przy której występuje szczyt rezonansowy

Linearyzacja - zastąpienie układu równań różniczkowych nieliniowych układem równań różniczkowych liniowych, w celu uproszczenia lub umożliwienia analizy. Polega ona na rozkładzie funkcji nieliniowych w szereg potęgowy i uwzględnieniu tylko liniowych członów rozkładu.

Szerokość pasma BW - przedział pulsacji od 0 do
, przy której następuje spadek wartości charakterystyki amplitudowej
o 3 dB w stosunku do wartości tejże charakterystyki dla
.

Równanie charakterystyczne - równanie uzyskane przez przyrównanie do zera wielomianu w mianowniku funkcji transmitancji systemu z zamkniętą pętlą sprzężenia zwrotnego.

Jacek Cichosz

y

r

e

G

K

-

sys = G

sys=GH

-

K

G

H

F

sys=FG

-

K

G

sys1

sys1

.

.

.

sys1

sys2

u

y

sys

sys

y

u

sys2

sys1

v₁

v₂

z₁

u₁

z₂

u₂

y₁

y₂

sys1

sys2

u

y

sys

sys

y

u

sys2

sys1

v₂

z₁

y₁

u₂

sys1

sys2

u

y

-

y

u

sys2

sys1

-

z

v

ω→∝

ω→0

ω=ω_g

Zapas

fazy

1

-1

0

Re(GH)

jIm(GH)

jIm(GH)

Re(GH)

0

-1

|G(jω_c)H(jω_c)|

ω=ω_c

ω→0

ω→∝

---