15. Elementy teorii względności

W poprzednich rozdziałach poznaliśmy takie pojęcia jak: układ odniesienia, ruch względność ruchu, układy inercjalne i nieinercjalne. Pierwsza zasada dynamiki postuluje istnienie układu odniesienia, w którym ciało spoczywa lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym, jeśli wypadkowa działających na niego sił jest równa zero. Układy nieruchome lub poruszające się ze stałą prędkością względem takiego układu odniesienia nazywamy układami inercjalnymi względem siebie. Zakładając, że układ ruchomy O' porusza się z prędkością unoszenia u w kierunku osi x względem nieruchomego układu O (patrz rozdział 3) otrzymujemy transformację Galileusza dla współrzędnych prostokątnych:

x' = x - ut,

y' = y,

z' = z,

t' = t.

Różniczkując pierwsze równanie po czasie otrzymujemy znany z mechaniki klasycznej związek między prędkościami:

.

Kolejna pochodna po czasie daje związek między przyspieszeniami:

.

Mnożąc ostatnie równanie przez masę ciała uzyskujemy związek między siłą
rejestrowaną w układzie nieinercjalnym a siłą rzeczywistą
(posiadającą konkretne źródło w postaci jakiegoś ciała) oraz pozorną siłą (siłę bezwładności)
. Pochodzenie tej ostatniej wynika z przyspieszenia ruchu jednego układu względem drugiego i nie wiąże się z istnieniem rzeczywistego jej źródła.

Zauważmy, że w transformacji Galileusza milcząco zakładamy niezmienniczość takich wielkości jak: czas i masa oraz nie ograniczamy możliwości dodawania prędkości.

Zastanowimy się teraz nad możliwością (szybkością) przekazu informacji (energii). Najszybszym znanym nam nośnikiem jest w tym przypadku światło. Przypomnijmy sobie teorię Wielkiego Wybuchu (BB). Posadźmy obserwatora bez masy na fotonie, który powstał po przekroczeniu progu Plancka i poruszał się bez przeszkód razem z horyzontem wszechświata. Patrząc przed siebie obserwator „widzi nic za horyzontem”. Obracając się do tyłu widzi to co było na początku fazy I inflacji tuż po BB. Sytuacja ta wiąże osobliwość początkową z końcową ale uświadamia nam szczególną rolę transmisji informacji za pomocą światła. Postawiono pytanie dotyczące prędkości światła w różnych układach odniesienia. Poniższy rysunek przedstawia doświadczenie Michelsona-Morleya (M-M - Sz.Szczeniowski, Fizyka Doświadczalna cz. IV str. 389) mające wyznaczyć prędkość światła w różnych układach odniesienia.

Uzyskane wyniki świadczyły o tym, że prędkość światła (w próżni) jest stała we wszystkich układach inercjalnych i nie obowiązuje prawo składania prędkości wynikające z transformacji Galileusza.

Wprowadźmy do transformacji Galileusza współczynnik K (M.Sawicki, Elementy teorii względności) zależny od prędkości obiektu i o wartości zmierzającej do 1 dla małych wartości prędkości. Zapiszmy wzory transformujące współrzędną x dla przeciwnych prędkości
:

x = K (x' + ut'),

x' = K (x - ut).

Uwzględniając stałość prędkości światła:

x = ct,

x' = ct'.

Wstawiając t i t' do poprzednich wzorów otrzymujemy:

x = K (x' +
x') = Kx' (1+
) ,

x' = K (x -
x) = Kx (1-
)

gdzie
=
. Mnożąc stronami ostatnie równania otrzymujemy:

x x' = K² x x' (1 -
²),

.

Współczynnik K spełnia postulat K zmierza do 1 przy wartości prędkości u znacznie mniejszej od prędkości światła w próżni (
.

Ponieważ
, stąd

,

.

Tak więc transformacja Lorentza ma postać:

,

y' = y,

z' = z,

.

Sprawdźmy teraz jakie są konsekwencje transformacji Lorentza dla takich niezmienników klasycznych jak: długość, czas, masa i składanie prędkości.

Niech w układzie odniesienia O długość pręta wynosi l, a w układzie O' - l'.

l = x₂ - x₁

l' = x₂' - x₁'

Z transformacji Lorentza:

,

,

stąd:

.

Ponieważ współrzędne końców pręta zmierzono w układzie O' w tym samym czasie stąd t₂'=t₁'. Momenty t₁ i t₂ wyznaczymy wykorzystując transformację Lorentza.

,

Z porównania obu czasów otrzymujemy:

,

a po wstawieniu do wzoru na l':

.

Ponieważ l = x₂-x₁ otrzymamy ostatecznie:

.

Oznacza to, że ze wzrostem prędkości układu O' (
) obserwujemy (obserwator w układzie O) skrócenie długości pręta. Zależność tą ilustruje poniższy rysunek.

Przy obliczaniu długości l' zakładaliśmy stałość czasu t₂'=t₁'. Przy wyznaczaniu upływu czasu musimy założyć stałość położenia x₂' = x₁', w którym obserwator w układzie O' zmierzy odstęp czasu t'=t₂'-t₁'. Wykorzystując odwrotną transformację Lorentza dla czasu (
):

,

i uwzględniając stałość położenia w O' otrzymamy:

t = t₂ - t₁ =
.

Wyobraźmy sobie wzrost kaktusa zabranego na statek kosmiczny i wysłanego w przestrzeń z dużą prędkością (
). W tej sytuacji normalny, dla kapitana statku wzrost roślinki będzie trwał dla obserwatora na Ziemi znacznie dłużej. Obserwator na Ziemi stwierdzi spowolnienie czasu wzrostu iglastego stwora. Może się zdarzyć, że kaktus wracając na Ziemię nie osiągnie wieku dojrzałego, podczas gdy na Ziemi wyginą ostatnie pokolenia kaktusów.

Wykorzystajmy odwrotną transformację Lorentza do uzyskania wzoru na dodawanie prędkości (np. w kierunku osi x).

,

Ponieważ
, stąd:

a dla obserwatora będącego w układzie O':

.

Z wzoru na v_x wynika, że jeśli wartości obu prędkości v_x' oraz u są równe c to prędkość w układzie O jest także równa c (a nie 2c).

Okazuje się również, że dla ciał poruszających się z dużymi prędkościami należy zamiast masy spoczynkowej m uwzględniać masę relatywistyczną m_r , gdzie:

.

Z wzoru tego wynika, że masa relatywistyczna rośnie gwałtownie do
przy wartości prędkości zmierzającej do c co ilustruje poniższy rysunek.

Przypomnijmy sobie zasadę zachowania materii z rozdziału 2. Mówi ona o zachowaniu energii wynikającej z ruchu ciała i energii odpowiadającej masie ciała w układzie izolowanym. Przekształćmy wzór na masę relatywistyczną podnosząc do kwadratu i mnożąc obie strony przez mianownik.

m_r² (1-
) = m²

W powyższym wzorze przyjmujemy, że v = u, tzn. wiążemy układ O' z poruszającym się ciałem. Mnożąc to równanie przez c⁴ uzyskujemy związek:

m_r²c⁴ = m²c⁴ + m²v²c².

Ponieważ mv jest równe pędowi ciała p, m_rc² całkowitej energii relatywistycznej E_r ciała a mc² energii odpowiadającej masie spoczynkowej ciała otrzymujemy:

E_r² = m²c⁴ + p²c².

Wzór ten łączący te trzy rodzaje energi łatwo zapamiętać bazując na twierdzeniu Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego (poniższy rysunek).

Uwzględniając efekty relatywistyczne wiążące odległości i czas z prędkością obiektów a także wyróżnioną wartość prędkości światła w próżni wprowadza się tzw. cztero-wymiarową przestrzeń Minkowskiego. Każde zdarzenie posiada w niej 3 współrzędne przestrzenne x, y, z i jedną czasową ict. Poniższy rysunek przedstawia odpowiedni diagram Minkowskiego. Dla uproszczenia zaznaczono na nim współrzędną przestrzenną jako r a czasową jako współrzędną zespoloną ct.

Punkt 0 oznacza teraźniejszość. Zdarzenia leżące wewnątrz górnego stożka odpowiadają przesyłaniu informacji lub poruszaniu się w przestrzeni z dozwolonymi prędkościami v<c. Stożek ten jest ograniczony linią świata fotonu czyli obiektu poruszającego się z maksymalnie dopuszczalną prędkością.

Inwariantem I (niezmiennikiem) w takiej czasoprzestrzeni jest:

I = s² = r² - c²t².

Dla światła jego wartość wynosi 0. Oznacza to, że światło i jego prędkość wyznaczają granice (linie świata), do których mogą dotrzeć obiekty fizyczne. Kolejny raz uwidacznia się rola światła w rozwoju i możliwościach poznawczych wszechświata.

---