128 129 (3)

Przestrzenie euklidesowe

Bazę przestrzeni E stanowią więc wektory iti = (0,1,0,—J) i₂ = (1,0,4,6). Po ich zartogonaiizowaniu otrzymujemy bazę ortogonalną tii = ii, v? — (1,3,4,3), a po unormowaniu szukaną bazę ortonormaJną

Współrzędne [01,02] danego wektora v w tej bazie wynoszą o_: = (£,£;) = -6%/2, 0*2 = (v, e₂) = \/35-

b) Będziemy ortogonalizować bazę standardową {l,z,z²} przestrzeni R₂[x]. Wektory bazy ortogonalnej obliczamy zc wzorów:

₂    1    2    7

Dalei mamy |<7 \* = l, |g₂| = —, | Qi |    = —, więc baza ortonormalna rozważanej

12    ot)

przestrzeni skład?, się 2 wielomianów rj = 1, r₂ = y/3(2x - 1), r.i = dy/S (z² - z+ - V

V.    6 /

1    \/2

Wielomian p_c ma w tej bazie współrzędne oj = (Po.^i) = a₂ = (p_c, r₂) = —,

2    6

o-a = [p₀, r₃) = 0 Zauważmy jeszcze, że gdyby dany wekLor p₀ przyjąć jako pierwszy w ortogonaiizowancj bazie, to te współrzędne byłyby równe [1,0,0].

• Przykład* 13.6

ZcrtogonaiizowŁić metody macierzową podane wektory w odpowiednich przestrzeniach euklidesowych:

a)    ii! = (1,4, 2), u₂ = (1, 5,1), w przestrzeni E³;

b)    ź2j = (0,1,0. 1),    — (-2,3,0,1). C₃ = (1,1,1,5) w przestrzeni E⁴.

Rozwiązanie

a) Niech A oznacza macierz, której wierszami są dane, liniowo niezależne wektory. Stosując operacje elementarne na wierszach macierzy blokowej [.4A^T]A], bez zmiany ich kolejności, doprowadzimy ją dc postaci [ć» IA*], gdzie G jest macierzą trójkątną górną. Wektory wierszowe macierzy A' będą wtedy poszukiwanymi wektorami ortogonalnymi Mamy 2atem

j" 21 23 ll 4 2 [ 23 27 ₍ 1 5 1

‘21 23	1 4	2
0 ^38	2 33	25
L ° 21	21 21	21

(—2 33 —25\

— —, —— ) Ortogonalizacja Gra

ma Schmidta doprowadziłaby w tym przykładzie do identycznego wyniku.

Trzynasty tydzień - przykłady

b) Tutaj otrzymujemy

' 2	4	6	0	1	0	1 '
4	J4	5	-2	3	0	1
. 6	•3	23	1	]	1	5 .

**2 ~ ^2u'l *“3 ~ ^3u'l 1 0

**•3 + **2

2 4    6

0 6-6 0 0    4

0

-2

-1

2    16 0    10 1

0    5-6-2    10-1

0 -6 10 1 -2 0 2.

1 o 1 1

= [q.4'j.

Po ortogonalizacji uzyskaliśmy więc wektory (0.1,0,1), (-2,1,0,— 1), (-1,-1,1,1). Zauważmy dodatkowo, że kwadraty norm tych wektorów są równe kolejnym elementom głównej przekątnej rnaciei2y G Jest to w tej metodzie ogólna prawidłowość, a ile w trakcie postępowania nie jest wykonywana operacja dzielenia wiersza przez ustaloną liczbę Warto też wspomnieć, że ogólne wzory na ortogonalizację Grama-Schmidta doprowadzi-łyby lu Jo wektorów (0,1,0,1), ( —2,1,0 —1), ( —    ^ T ~ I

• Przykład* 13.7

Stosując, wyznacznikową metodę skonstruować bazy ortogonalne podanych przestrzeni euklidesowych zawierające dane wektory ortogonalne:

a)    iJ] = (2,3,4) w przestrzeni £³\

b)    0! = (1,1,1,2), 02 = (2, 1,-1, -1) w przestrzeni E⁴\

c)    q_} = x² — x w przestrzeni #3 [z] z bazą ortonormalną {l,r,z², z³}

Rozwiązanie

Wykorzystamy wyznacznikowy w2Ór na wektor ortogonalny do danych n - 1 wektorów w przestrzeni euklidesowej E wymiaru n. Wektor w ortogonalny do wektorów tij, u_2l .... itr.-i € E ma postać

e, e₂ .. e_n

Oj:    0:2    ■■■ Ojrx

V =    .

. On—II On—12    ftn-ln    .

gdzie (o,i,q,2 .. ,<*,«) oznaczają współrzędne wektora *,,1 ^ i ^ n — 1. w bazie ortonormalnej { f.j, <?₂, • •, £«} przestrzeni E. Obliczając kolejne wyznaczniki znajdziemy colejne brakujące wektory ba2 ortogonalnych. Początkowe liczbowe wiersze pierwszego wyznacznika będą zawierały współrzędne danych wektorów bazy ortogonalnej w pewnej bazie ortonorir.alr.ej. Pozostałe wiersze dopisujemy tak, aby wszytskie liczbowe wiersze były liniowo niezależne. Dla wygody obliczeń będą to wiersze jednostkowe (jedynka i reszta zer). Kolejne obliczane wyznaczniki będą się różnić jednym wierszem - w miejsce pierwszego wiersza dopisanego wstawimy współrzędne nowo znalezionego wektora bazy.

a) Wektory a, j, k przyjmujemy jako bazę ortonormalną przestrzeni E² Wektor tli = (2,3,4) uzupełnimy o niezależny z nim wektor jednostkowy (0,0,1) otrzymując

	» j k		t j k
«2 =	2 3 4 0 0 1	= (3, -2,0), v2 =	2 3 4 3-2 0

(8,12,-13).