18218 stat Pageq resize

Rozdział 5

Metody Monte Carlo

Przykład 5.1 (Igła Buffona). Załóżmy, że na drewnianą podłogę złożoną z desek o szerokości d rzucamy igłę o długości l Jakie jest prawdopodobieństwo, że rzucona igła przetnie choć jedną z linii pomiędzy deskami9

Rozwiązanie: Niech A będzie odległością dolnego końca igły od wybranej linii na deskach, a © - kątom nachylenia igły względem linii (patrz rysunek 5.1). Rozkład prawdopodobieństwa rzucenia igły na podłogę jest wtedy rozkładem jednostajnym na przestrzeni A x © — (0;d) x [0;!r).

Rysunek 5.1: Problem Igły Bufiona

Jak łatwo zauważyć, prawdopodobieństwo przecięcia jednej z linii przez upadającą igłę wynosi

/* /^ł““^d 1 21

Li T«^iAd9-T«-    <⁵¹>

Co najciekawsze, wzór (5.1) można łatwo wykorzystać w zupełnie innym celu -do estymacji wartości liczby r.

Niech n będzie mianowicie liczbą wszystkich prób, a k - liczbą rzutów, w których igła przecięła linię na deskach. Wtedy

fr

21n dk ’

(5.2)

gdzie k jest tzw. estymatorem Monte Carlo liczby t.    o

Metodologia obliczeń, nazwana metodami Monte Carlo, została zaproponowana w latach 40-tych ubiegłego wieku przez dwóch wielkich matematyków -Stanisława Ulama i Nicholasa Metropolisa. Słynną nazwę metodom MC nadał