43438 skanuj0023

480 III. Rachunek całkowy

/£&X sin*-i y eP*$uiⁿxdx =    —(asinx—ncos*)+

+    / e^sin""²**** (patrz 447, 4591

/gfl® COS¹¹"¹ X

e^axcosⁿxdx —    _q2_|__na (acos*-f wsin*)+

, tt(n— 1) r

+    J e^axcos"-*xdx (patrz 447, 46GJ

/XĆ^ax

xe^axsinbxdx =    (a sinfc*—b cos bx) —

0tx

[(a²—i²) sin bx—2ab cos 6*1

(a²+i²)²

/xe^ax

xe^ax cos bxdx =    (acosbx+b sin bx)

e*^x    m

— j^_+b^Jia²—b²)cosbx+2absinbx\

Całki funkcji logarytmicznych 465. jln|*|dx — *ln|*|—*.

466. J (ln|*|)²d* = *(ln|*|)² —2*ln|*|+2*.

467. J (ln|*|)³rf* = *(lnl*|)⁸—3*(ln|*|)²+6*ln|*| —6*.

468. J (ln\x\)ⁿdx = x(ln\x\)ⁿ—n f (ln|jp|~^l<fof,    ni> — 1.

* A-

470

dx

ln |*| dx

(ln |*| )ⁿ

mm (in

*    i r dx

:in I*!)"-^{1 +} n-1 J (ln I*!)”-¹⁵    " *

(patrz 469

O Całkę oznaczoną f -—nazywamy logarytmem całkowym i oznaczamy i 0 «

li*. Gdy * > 1, całka w punkcie r = 1 jest rozbieżna. W tym przypadku przez 1 należy rozumieć wartość główną całki niewłaściwej (str. 506). Logarytm całkowy ję związany z funkcją całkowo-wykładniczą (patrz str. 479) zależnością li* = ei (ln |*1

4M,

4/2,

473.

474. 471.

470.

477.

478.

470.

4H0.

4HI.

482.

(')

x^mVa\x\dx = x^m+1 x^m(}xi\x\)ⁿ dx —

ln |3c|

m+1    (m+1)²

x^m+1(ln |x|)^B n

, m# — 1.

J x^m(\n\x\)ⁿ~¹dx_y m₃ n — 1 (patrz 470).

m+1    m+1

(ln |x|)^n ^	(ln |x|)^n+1	n/ -1.
X	n+1 ’
^laMdx--	ln|x|	1
xm ^dX	(m—l)x^m_1	(m —I)^2*™"^1’

(tn—l)x^m

1-

r (ln|x|)^w ^ _    (ln|*|)ⁿ    , n f (ln|x|)*-^ł

, n f (ln |x|)^B_1

-¹ m-1 J x™ "**

(patrz 474).

J ln|x

(' x

dx

(ln |x|)^B

* dx xln|x| t

:\X\

dx

Je~y

—dy> y = —(m+l)ln|x| (patrz 451).

V

m+1 r x^m ,

^=i^dx>

y

dx = —

(n-l)(ln|*|)»"¹⁺ n-1 J (ln|*|) = ln lin IsclI.

n# l.

(n—l)²(ln |x|)² 2-2!

(«-l)³(ln|*|)²

3-3!

+ ...

-1

*(ln|*|)^B    (n—l)(ln|x|)^n-1’

dx    —1

»#1.

P-1

dx

x*(ln|x|)ⁿ    xP~¹(n—1)(ln|x|)^n_1 n-1 J x^p(ln|x|)"-^ł *

n+l.

ln|sinx|<ftc = xln|x| — x— — — qqq— ••• “

2^2n-1B_nx²ⁿ⁺¹

n(2n+l)!

-.-O)

?„ są to liczby Bernoulliego (patrz. str. 382).