56117 str136 (4)

136 2. FUNKCJE SPECJALNE

Z warunków brzegowych otrzymujemy następujące związki:

AI₀(6)+BK₀(6) = 2, zl/₀(9) + 5iC₀(9) = 3, z których wyznaczamy stałe /( i B

4 =    2K₀(9)-3Kq(6)

f o(6) K₀(9)—/ ₀(9) K₀(6) *

_{B =}_3J₀(6)-2/₀(9)

I₀(6)K₀(9)-I₀(9)K₀(6)‘

Rozwiązaniem równania (1) spełniającym dane warunki brzegowe jest funkcja

[2g„(9) - 3X₀(6)] J₀(3x) + [3/₀(6) - 2/₀(9)] K₀(3x) ^y    I₀(6)K₀(9)-I₀(9)K₀(6)

Zadanie 3.2. Wyznaczyć ogólne rozwiązanie równania różniczkowego

O)

Rozwiązanie. Wprowadzamy pomocnicze zmienne v i x w następujący sposób: (2)    y = x«(x), jc = z*.

W celu wprowadzenia zależności (2) do równania (1) obliczamy pochodną d²y/dz²:

d²y d²v

dv

dv

—2 = —2 ^X 00 + 2 —• (x')+ — XX” + ^V*" . dz dx

dx

dx

skąd wobec

x =

2x

-1

x =

4x³

mamy

d²y d²v 1 dv 1    1

J?~d^'4x⁺dx’4x²~^V4x³'

Równanie (1) dla funkcji v(x) ma następującą postać:

d²v 1 dv (    1 \

©    i?⁺T*;.-(⁴⁺7j’-⁰-

Rozwiązaniem ogólnym równania (3), zgodnie z zależnością (3.29), jest funkcja

(4)    v (x) = zl/₁(2x) + BK₁(2x). •

y = zł[AI_l(2zł) + BK_l(2zł)'].

Wiążąc ze sobą zależności (2) i (4), otrzymujemy ogólne rozwiązanie równania (1) w następującej postaci: