64633 skrypt025

ÓO łiozdzicu a. 1'roces próby o^r-w,

z dyskretnym przekształceniem Fouriera (DFT) oraz odwrotnym dyskretnym przekształceniem Fouriera (IDFT), którym jest poświęcony rozdział 7.

Zajmiemy się teraz określeniem związku między wielkościami X*{<?■■'■ ’) i    Próbki

x_n = x*(nT_s) = x(nT_s)

sygnału x(t) można wyrazić dwoma sposobami:

• stosując „klasyczne” odwrotne przekształcenie Fouriera widma A’ (j w) w chwilach t — nT_s

1 fOO    .

=    X(jm)e^dcu.    (3.17)

Z7T J — oo

• oraz korzystając ze zdefiniowanego wzorem (3.15b) odwrotnego przekształcenia Fouriera sygnału dyskretnego x*(nT_s) = x_n.

Po przekształceniu wzoru (3.17) otrzymuje się x_n = ~ f° XQu)e*^mT‘óu>

Ztt J—oo

-oo

oo

1 ^w rvws+u_a/2    .    _

= — y    X (jcj)e^Jum7sdu;

^27r w--oo^^uu’-^uj’/'²

1 oo /.Wj/2    .    .

= ^ E /_ ₂X(j(m + /zm_s))e^j^⁺^)"^r»dw

U—-0O

1    fw,/2    °°

= - T £ ^X(j(- + ^))e^du,.

Jeśli porówna się ostatnie wyrażenie ze wzorem (3.15b), uzyskuje się. po zmianie oznaczenia indeksu v oznaczeniem —n, poszukiwany związek w postaci

i    OO

_x*(_ei"T_s)=_ £ X(j(u> — nwj)) .    (3.18)

⁵ n=—oo

Wyrażenie (3.18) różni się od wyrażenia (3.7) tym, że wszystki wagi z_n są w nim równe c_n = 1 /T_s. Odpowiada to założeniu, że funkcja przełączająca jest grzebieniem impulsów Diraca.

3.5. Twierdzenie o próbkowaniu

Obecnie zajmiemy się uściśleniem twierdzenia o próbkowaniu, podanego poprzednio w formie opisowej. Jest to jedno z najważniejszych twierdzeń

Rys. 3.10. Interpretacja graficzna twierdzenia o próbkowaniu: (a) sygnał dyskretny x'(nT,), (b) rekonstrukcja sygnału ciągłego

w teorii przetwarzania sygnałów dyskretnych. Zostało ono odkryte przez Whittakera w 1915 r. na gruncie teorii interpolacji ^{1 2}. W formie przydatnej do zagadnień przetwarzania sygnałów zostało sformułowane³ przez Kotel-nikowa w 1933 r. Jego doniosłość w teorii przetwarzania sygnałów uznano jednak dopiero dzięki fundamentalnej pracy⁴ Shannona z 1949 r.

Twierdzenie o próbkowaniu: Niech x(t) będzie sygnałem o transformacie Fouriera X(ju), przy czym

X(juj) = 0 dla |w| > u_g ,

wówczas

x{t) =

£

x(nT_s)

n= — co

sin u)_g(t - nT_s) LOg(t - nT_s)

(3.19)

przy czym

u_s = 2 LOg

oraz T_s =

2tt

1

^JE. T. Whittaker, On the functions which are representcd by the expansion of in-

2

trrpolating theory, Proc. Roy. Soc. Edingurgh, Vol. 25, 1915, 181-194.

3

V. A. Kotel’nikov, On the transmission capacity of „ether” and wire in electrocom-munications, Materiał Jor the First all-Union ConJ. Questions o] Comm., Izd. Red. Upr. Svia.zi RKKA, Moskva 1933.

4

C. E. Shannon, Communication in the presence of noise, Proc. IRE, Vol. 37, No. 1, 1949, 10-21.