77157 img425 (4)

DEFINICJA 3.

Niech funkcja / będzie określona w sąsiedztwie S(x₀) punktu x₀. Funkcja J ma w punkcie x₀ granicę niewłaściwą równą +°° (-°°) ^{_ co} zapisujemy lim f (x) - +qo (-00) - wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ciągu (x„),

X->X₀

którego wyrazy x_n e S(x₀) oraz \\mx_n = x₀, jest prawdziwa równość lim f(^xn) ^{= +0}° (~ °°)'

00 Symbolicznie możemy zapisać to tak:
^def' A lim f(x) = +qo <=> A x->x0^-7 (X„) def. . lim f(x) = - co <=> Ą x—yx0	ixn 6 S(x0) a lim xn = x0)=> lim f(xn) - +00 \ n-> 00 / n-+cc ixn e S(x0) a Nm xn = x0)^jim/(xn) = -00	? 5

Uwaga:

Granice określone definicjami 1. i 2. nazywa się czasem granicami właściwymi (lub skończonymi), w przeciwieństwie do zdefiniowanych powyżej granic niewłaściwych (nazywanych też nieskończonymi).

Zastanówmy się, jak zmieniają się ułamki, których liczniki dążą do stałej różnej od zera, mianowniki zaś do zera. Rozważmy w tym celu kilka przykładów:

1) -j- , -j-, -j- , —.....Zauważmy, że po przekształceniu ułamków piętrowych

2    4    8 16

ten ciąg przybiera postać 2, 4, 8, 1 6, ... Ma on granicę +00, czyli lim -= +00.

n—> 00 "I

2ⁿ

2)

1	1	1	1
1 '	1	’ 1	’ 1 ’ "
2	4	8	16
:,-4,	-8, -	16, ...	Granicą
-1	-1	-1	-1
1 ^1	1	’ 1	- 1 , ..
2	4	8	16

1

= — 00.

n-*»    1

~Yⁿ

_-i _i _i

3)

1111

4)    ,    ₁ , ■ j , ——.....Tym razem otrzymujemy ciąg 2, 4, 8, 1 6.....

2    4    8 “16

Idilinuo granicą jest + oo, lim —— = +co.

n-» oo    1

^_2"

4) ' , ^ , —,——.....Jest to ciąg 2, -4, 8, -16,... i jego granica nie istnieje.

_r* 4    8    1~6

/ powyższych przykładów widać, że ciąg ułamków, których liczniki dążą do *lrtlr| różnej od zera, mianowniki zaś do zera, albo nie ma granicy, albo jest nią grani* n niewłaściwa +oo lub -co.

Załóżmy teraz, że ciąg taki ma granicę niewłaściwą. Co decyduje o tym, czy )«lt nl <1 +oo czy -oo ? Otóż decydują o tym znaki ułamków. Jeśli np. liczniki ułamków są dodatnie, a mianowniki ujemne, to granicą jest -oo (punkt 2). hu li iłmie jest, jeśli liczniki ułamków są ujemne, a mianowniki dodatnie. Jeśli tai lic znlki i mianowniki są tego samego znaku, to granicą jest +oo.

MZYKIAD G.

/badajmy, czy istnieją granice:

a) Hm , ^x~ ⁵,    ₂ ;

* .1 (x^z - 4x + 3)²

b) lim « *o

2x + 3 x (x — 1 ) ²

Ad a) Widzimy, że licznik ułamka dąży do - 2, jest wobec tego ujemny. Mianownik zaś dąży do zera i jest dodatni w sąsiedztwie punktu 3 (jako kwadrat |mwnngo wyrażenia). A więc cały ułamek jest ujemny. Wnioskujemy stąd, że ta granica (niewłaściwa) istnieje i jest nią -oo. Zapiszemy to krótko:

— oo.

.. x - 5 x-+3 (x² - 4~x + 3)²

i

0⁺

Ad b) Licznik ułamka dąży do 3, jest więc dodatni. Natomiast mianownik (dla lic /b dowolnie bliskich O) może być dodatni lub ujemny. Można przypuszczać, /r la granica nie istnieje.