80482 str271

§ 1. POJĘCIE TENSORA 271

Rozwiązanie. Współrzędne cylindryczne X* są związane ze współrzędnymi sferycznymi x'^k następującymi zależnościami:

§ 1. POJĘCIE TENSORA 271

x'¹=V(x¹)²+(x³)², co możemy zapisać następująco:

(1)    Q = Vr² + z²,

Korzystając z zależności (1.3) mamy

x'² = x².

x'³ - arctg—j, x

<P = (P,

0 — arctg—.

r

(2)

y'^s__y^k

dx'°

~d?

Po uwzględnieniu związków (1) w relacji (2) otrzymujemy poszczególne składowe wektora kontrawariantnego V'^s w następującej postaci:

do dr do dz dg dr _n dz . „

— = — --1----= —cos 6 H--sinO,

dt dt dr dt dz dt    dt

dtp d<p

lit ⁼ ~dt’

dO    dr    dd dz dO    dr    sind    dz cos 6

dt    dt    dr⁺ dt dz    _tdt q    dl Q‘

Zadanie 1.6. Dana jest funkcja skalarna u - u(x¹, x²) mająca ciągłe pochodne rzędu

d²u

drugiego. Zbadać, czy zbiór wielkości A_kl = —_k—. jest tensorem kowariantnym lub kon-

dxrdx

*»

trawariantnym rzędu drugiego.

32

Rozwiązanie. Dla zbadania charakteru wielkości A_kl wyznaczamy A_kl = w układzie współrzędnych / związanych ze współrzędnymi x^r zależnościami

x^r = f^r(y¹,y²) dla r = 1,2.

(1)

d²u

dfd?

du dx^l du dx²

dy^{k =} d7’l)/⁺d?'l)y^k'

du

Różniczkując powtórnie wyrażenie (1) otrzymujemy

d²u d²u dx¹ dx^l d²u dxⁱ dx² = dy^kdy‘⁼⁼d(x¹)²'d/'d/ ⁺ dx¹dx²'d/'d^

A li — - j, . i — _ . i. -i iT * ~ i "ł" T iT •> * Z k * I f i*

du d²x^l d²u dx² dx² + “i*- i. m I+ ■«-;“ "'5 •“ * ~ i "b

d²u dx² dx^l du d²x²

dx^l d/dy^l d(x²)² dy^k dy' dx²dx¹ dy^k dy' dx² dy^kdy‘'