89926 skanuj0008 (335)

70 Rozdział 4- Ciągi i szeregi 4-2. Szeregi liczb

byłby zbieżny, to na podstawie własności (1) szereg Y2 ^an także byłby zbieżny,

n= 1

co prowadzi do sprzeczności.    □

oo

Przykład 4.44. Szereg Y2 jest zbieżny. Dla dowolnego n G N zachodzi

n= 1

nierówność: n² + 1 > n², czyli -^zj < Ponieważ szereg Y2 z? .i^est zbieżny,

n~ 1

oo

zbieżny jest także szereg Y2 ^

n=l

oo

+1

Przykład 4.45. Szereg Y2 _x jest zbieżny. Dla dowolnego n ^ 2 zachodzi

n=l

nierówność: n² —1 > n² — ^n² = \n², czyli ^tz\ ^ t^2 = 2 4*. Ponieważ szereg

oo    oo

Y2 4? jest zbieżny, zatem szereg ]T) 2 4^ jest zbieżny (twierdzenie 4.42). Na

n=l

n—1 oo

podstawie twierdzenia 4.43 szereg Y2 też jest zbieżny.

n=l

oo

Przykład 4.46. Szereg Yh 7fk+\ J^{est roz}bieżny. Jeśli n ^ 2, to

n=1

oo

czyli ^== >    Szereg ^ jest rozbieżny (patrz przykład 4.41 przy

n=l

oo    oo

<2=5), zatem szereg ^757^ jest rozbieżny. Stąd szereg X) 7/=^T J^est

n=l ^{V V}    n=l

nież rozbieżny.

row-

Przykład 4.47. Rozważmy szereg Y2 sin ^ cos Ponieważ lim = 1,

n— 1    ^>0

sin ~ ^cos "V

a lim cos a: = 1 (przykład 5.54), więc lim —^= 1. Jeśli zastosujemy

x—*0    n—>oo    _n

definicję zbieżności ciągu dla e — to dla n większego od pewnego M otrzymamy:

“ COS —ry

~ 1

< b

zatem

h • - < sin - cos \ < 4 • -

2 n    n    n^z 2 n

dla n > M. Ponieważ szereg Y2 ok j^est rozbieżny, zatem - zgodnie z uwagą

Będziemy tei

Definicja 4.48

a_n G R. Szereg jest zbieżny.

Twierdzenie 4

00    I

to Y2 ^an i^est ^z1 n= 1

Dowód. Nieci

pujący sposób: Wówczas 0 ^ <

(twierdzenie 4.

są także ciągi:

Pt

Zbieżny jest r< zbieżny jest t<‘

Następne nej szeregów,

Twierdzenie

(^an)^Li C K.

(1)    Jeśli li

n-

(2)    Jeśli li

n-

Przykład 4

n=l

4.37 oraz kryterium porównawczym (twierdzenie 4.43) - szereg YZ sin ^ cos ^

n=1

jest rozbieżny.