998 109

108

bazie standardowej i w bazie wektorów własnych, zaś P jest macierzą przejścia z bazy pierwszej do drugiej. Tutaj

	-1 0 0		0 12	i	-1 4-1
D =	0 0 0	, p =	1 1 1	P'^1 = -	0-4 2
	0 0 1.		2 3 2.	Ł	. 1 2 -1.

a) Mamy

A =	‘012" 1 1 1		-1 0 0' 0 0 0	1	-1 4 -1 0-4 2	_	1 2 -1 1 -1 0
	2 3 2.		0 0 1.	2	1 CM r-*		.2-2 0.

2 postaci macierzy A przekształcenia L łatwo wynika wzór tego przekształcenia, mianowicie L(x, y, z) = (z + 2y - z, z - y, 2x - 2y).

b) Macierz 100-krotnego złożenia przekształcenia L wyraża się wzorem

A¹⁰⁰ = (POP-¹)™ = PD^l0°P-\

a więc

A'⁰⁰

' 0 1 2		10 0'		’ -1 4 —1		‘1 2 -1'
1 1 1		0 0 0	-	0-4 2	=	0 3-1
.2 3 2.		.001.	2	1 2 -1 .		0 G —2 _

^,00	' 1 ' 2	_	' 2 ' 3
	. 3 .		. 6 .

Z zależności

wynika, że £^ł00(l, 2, 3} = (2,3,6).

d)

3

2 -1

0 —4

• Przykład 11.5

Znaleźć wartości i wektory własne podanych macierzy rzeczywistych:

■>[-!!]

; b)	'5-3 .3-1.	^c)	'2 1 -5 -2
_			‘12 3 4

<0

0 4    0

-5 0 “2

0

Rozwiązanie

Wartość własna A <E R rzeczywistej macierzy A stopnia n jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego tej macierzy i wyznaczamy ją z warunku det(>4 — A/) = 0. Wektor własny v = (*j. z*,..., x„) € Rⁿ odpowiadający wartości własnej A jest niezerowym rozwiązaniem jednorodnego układu równań

(A - XI)

		' 0 ‘
£fl J		0

Jedenasty tydzień - przykłady    łft?

a) Obliczmy najpierw wicloni.au charakterystyczny macierzy A. Mamy

det [A - A/) = I ⁴ j l _x = A⁵ - 5A + 6 = (A - 2)(A - 3).

Wielomian ten ma dwa rzeczywiste pierwiastki Ai = 2, Aj = 3, które są wartościami własnymi macierzy A. Wektor własny 3i = (z,y) odpowiadający wartości własnej Ai wyznaczamy z układu równań

X		r ^2 ii	r *i_	' 0 '
y		[-2 -ij	L v J -	0

<=> tj = —2x. x 6 R

{A-IX,)

Stąd t j = (z, - 2z), gdzie z 6 R \ {0}. Podobnie znajdujemy wektor własny t<₂ = (z,y) odpowiadający wartości A₂:

(a-jx₂)

N		1 1 H 1 ■ 1_	O 1_
S»		-2 -2 J [ y J “	0

<=> y = —r, z € R.

Zatem v₂ = (z,-z), gdzie z 6 R\ {0}. Przestrzenie wektorów własnych są więc następujące:

W₂ = lin <(1,-2)} dla X, = 2 oraz W, = lin <(1,-1)} dla A₂ =3.

b) Tutaj

det (A — XI) =

5 - A -3 3    -1 - A

4A + 4 = (A — 2)⁷.

Liczba A = 2 jest jedyną wartością własną (o krotności 2) macierzy A. Rozwiązujemy układ równań

[A - IX)

X		'3 -3 '		z	- r °
y		3 -3		y	L^0

z, gdzie x € R

i otrzymujemy wektor własny v = (z, z), z € Jt\{0} oraz przestrzeń wektorów własnych

W₂ = lin <(1,1)}.

c) W tym przykładzie

= A² +

det (A — XI) =

2- A 1 -5    -2 - A

Wielomian charakterystyczny nie ma pierwiastków rzeczywistych cc oznacza, żc macierz A nie ma rzeczywistych wartości własnych,

d) Mamy

1 - A 3    0

= (A-])(2-A)(A + 4).

det (A - XI) =

0    2 — A -1

0    0    -4 - A

Liczby Ai = -4, A₂ = 1, A3 = 2 są trzema wartościami własnymi macierzy A. Odpowi-dające im wektory własne v_2i v₃ postaci (x,y,z) znajdziemy rozwiązując poniższe