221 (8)

3.5. Zwiqikl miarowo w figurach p r i o s I r i e n n r c b

Oli)

1,5,1. Pola powierzchni i siatki oraz objętości wielościanów i brył obrotowych (IV)

g) Pole powierzchni P i objętość V części kuli (por. uwaga w 8.3.4c.:

(1) odcinka kuli

. pile powierzchni całkowitej P i objętość V ostro slupu ściętego i stożka ściętego:

P_c = P„+^p, +P_},

gdzie P_b to suma pól odpowiedniej liczby trapezów - ścian bocznych ostrosłupa ściętego I.

V = 11 ^p\⁺ JP\ i ^{+ p}t)^h

l = J(R-r)^ł+h²

P_r=n(R + r)l+nr² + itR² V=^n(R²+Rr + r²)h

r=J(2R-h)h P= 2nRh + nr²

y= 7tr h + -gnh

P=2nRh + nRr, gdzie nRr to pole bocznej powierzchni stożka V= — nR²h

P = 2nRh 12nr²+2nr² (pola kól górnego i dolnego)

V = ±nĄ h + jnr₂h + ±nh

(2) :inka kuli

(3) warstwy kuli

8. STEREOMETRIA

Pszczeli sekret

Pszczoły poza tym, iż są bardzo pracowite, mają I ież ogromną wiedzę matematyczną. Czy widziałeś kiedykolwiek, jak zbudowany jest plaster miodu? Otóż składa się on z szeregu sześciograniastych komórek woskowych, ułożonych w dwu warstwach stykających się wspólnymi denkami. Co ciekawe, dna ■e są płaskie. Są to naroża uformowane z trzech równych rombów. Dlaczego pszczoły obrały taką właśnie formę? Należało ciasne wnętrze ula zagospodarować w sposób najbardziej ekonomiczny, a więc wybrać laki wielokąt, który zwielokrotniony, pokryłby płaszczyznę bez żadnych szpar i szczelin. Spośród odkrytych już przez Pitagorasa wielokątów foremnych trójkąta i kwadratu, mądre pszczoły wy-foty właśnie sześciokąt. Innych form nie brały pod uwagę, gdyż musiałyby swe plastry budować j¹ komórek dwu lub \ “*el więcej typów,    .    .

“znacznie utrudnia-    \    //

! im pracę. Budu-; sześciokątne ko-również można 'ST p^gnąć największą    \

inność komórek    n

N‘Względnie naj-I """ojszym zużyciu 1‘oslai.

Liczba złota

Liczba - 11 jest nazywaną złotą liczbą. Wyraża ona długość odcinka spełniającego warunek tzw. złotego podziału. Jako pierwszy złoty podział wyrysował Hippasus w V wieku p.n.e. Starożytni Grecy uważali złoty podział za idealną proporcję, którą chętnie stosowali w architekturze. Wielki astronom Kepler powiedział: „Geometria ma dwa cenne skarby: jeden z nich to twierdzenie Pitagorasa, drugi - podział odcinka w stosunku średnim i skrajnym. Pierwsze porównać do miary złota. Drugie jest niby kamień drogocenny”.

Obecnie zloty podział jest również często stosowany, na przykład wymiary znormalizowanego zeszytu pozostają w stosunku w przybliżeniu równym stosunkowi złotego podziału.

Liczba złota ma ciekawe własności:

-    aby ją podnieść do kwadratu, wystarczy dodać do niej jedynkę,

-    aby znaleźć jej odwrotność, wystarczy odjąć jedynkę.

♦

Jeżeli odcinek R jest promieniem okręgu, to większa jego część w złotym podziale jest bokiem foremnego dziesięciokąta wpisanego w ten okrąg; jego długość wynosi R^/s - 11