227 (43)

_MFTOJ>A ELEMENTU skończonego •0.3/227

TWICKDZ1 NIE 10.21

Jeśli rozwiązanie u zadania (10.95) należy do C²[0, /], to Uu-uJ^Mh

odzie v_h jest rozwiązaniem (10.96). a M siała niezależną od k.

Można pokazać, źe uzyskane oszacowanie błędu ma największy rząd względem /; ćla zadań z rozwiązaniami u e C^:[0, /]. Jnaczej mówiąc, nie istnieje przestrzeń m-wymiarowa V_h, dla której oszacowanie błędu w normie || ■ ||_x byłoby wyższego rzędu, zob. np. poz. [82]. Dodajmy jeszcze, że w normie -|!₀ błąd metody jest rzędu 2, tzn. H«-nJ|₀ Mir.

Zatrzymamy się krótko nad konstrukcją rozważanego wariantu MES dla zagadnienia

| -D (a (x) Du) 4-c (x) u = f (x),    xs (0, V)

n /,»    ' _/A '    (10.98)

[-Du (0) = i<o , u (/) = 0

Zakładamy, że ma ono jednoznaczne rozwiązanie.

Najpierw należy zapisać to zadanie w postaci równania wariacyjnego. Pierwsze pytanie: jak należy okreśłić przestrzeń V? Korzystamy tutaj z następującej wskazówki (por. z poz. [75]):

Warunki brzegowe dzielimy na

(1)    zasadnicze (kinetyczne, sztuczne)

(2)    poboczne (dynamiczne, geometryczne, naturalne)

Warunki zasadnicze to te, które występują w definieji przestrzeni V, a pozostałe to warunki poboczne. Na przykład dla równania eliptycznego rzędu drugiego zasadniczymi są warunki Dirichleta, pobocznymi zaś - warunki Ncumanna i Newtona (II i III rodzaju). W przypadku równania 2/w-rzędu warunki brzegowe zawierające pochodne do rzędu m — 1 są zasadnicze, zaś rzędu wyższego są pobocznymi.

Taki podział warunków brzegowych ma uzasadnienie fzyczne (w mechanice). Wynika on również z zastosowania wzorów Grccna przy wyprowadzaniu równa-^n:a wariacyjnego (formy dwudniowej) ćla danego zagadnienia, o czym przekona-my się dalej.

W zagadnieniu (10.98) zasadniczym jest warunek u U) — 0. Za V przyjmujemy tutaj

v(J) = 0}

^Jest to przestrzeń unormow-ana z normą taką jak w H^x. Oczywiście V <= H'\ ^Aby wyprowadzić równanie wariacyjne, mnożymy równanie różniczkowe na przez funkcję ve C¹ [0, J], taką źe e (/) = 0. Całkując to równanie na ⁰ cinkn (0, /) i stosując wzór całkowania przez części (wzór Grccna) otrzymujemy

;

J (a (x) Du Dc -f c (x) uv) dx-\ a (0) Du (0) i- (0)-c (/) Du (/) u (/) = J fv dx