23 (447)

- METODY PROBABILISTYCZNE I STA TYSTYKA -

ĆWICZENIA 3.

WEKTOR LOSOWY DWUWYMIAROWY, NIEZALEŻNOŚĆ ZMIENNYCH LOSOWYCH, WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI LINIOWEJ.

ZAD.l. Z talii 52 kart wylosowano 1 kartę. Niech zmienna losowa X przyjmuje wartości równe liczbie wylosowanych asów, zaś Y - liczbie wylosowanych pików. Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa dwuwymiarowej zmiennej losowej (X, Y).

ZAD.2. Wektor losowy (X,Y) ma rozkład: P(X = -\,Y = 1) = ^; P(X = 3,Y = 1) = £; P{X = -1 ,Y = 2)=j; P(X = 3,Y = 2) = P(X = -l,Y = 3) = f; P(X = 3,Y = 3) = f Wyznaczyć:

a)    P(-l < W < 3,1 < y < 3);

b)    dystrybuantę wektora (X, Y);

c)    rozkłady brzegowe;

d)    rozkład warunkowy zmiennej X, pod warunkiem, że Y - 2;

e)    rozkład warunkowy zmiennej Y, pod warunkiem, że X = 3.

f)    Zbadać niezależność zmiennych X i Y.

g)    Obliczyć p(X,Y).

ZAD.3. Gęstość wektora losowego (X, Z) dana jest wzorem:

,,    , f e~^x~^y    dla x > 0 i y > 0

/0>Z) = 1 _n    ■    •

[0 w przeciwnym przypadku

Wyznaczyć:

a)    P(1<X<2,1<Z<2);

b)    dystrybuantę wektora (X, Z);

c)    rozkłady brzegowe;

d)    Obliczyć p(X,Y).

e)    Zbadać niezależność zmiennych X i Y.

ZAD.4. Niech (X,Y) będzie wektorem losowym takim, że EX = 2, D²X = 1 ,EY- 0, D²Y = 3, p(X, Y) = -j-. Obliczyć EZ i D²Z , gdzie Z = 3X-2Z.