240 (53)

METQDY NUMERYCZNE-

W ten sam sposób, jak przy k = 1 sprawdzamy, żc powyższe warunki określają jednoznacznie wielomian drugiego stopnia i że funkcja !•' jest ciągła w fj. Tak więc przestrzeń F£^2> jest przestrzenią elementu skończonego, a oszacowanie błędu metody ma postać

5 = 0,1

gdzie w jest rozwiązaniem dokładnym, u_h zaś — przybliżonym.

(c) Przestrzeń Vj*^}. Rozpatrzymy kolejno przestrzenie Lagrange’ow$kic i Hormilc*owskie.

Funkcja t’ na elemencie c_; jest wielomianem trzeciego stopnia (10 współczynników). Za węzły Q⁽‘\ j — ], ..., 10, na c, przyjmujemy wierzchołki i środek trójkąta oraz punkty podziału jego boków na trzy równe części (zob. ry>. 10.17). W tych punktach zadajemy wartości v. Wybrane w ten sposób parametry węzłowe gwarantują jednoznaczność i* na e, i ciągłość jako funkcji w Q.

0?
A	A
/ -«§ \ A / ____—	/ * \ /_______\
Jr	n-: (fi QS *2
RYS. 10.17	RYS. 10.18

W Hcrmilc’owskiej przestrzeni punktami węzłowymi są wierzchołki Q'j\ j — 1. 2, 3 i środek 0[^l) trójkąta e_t. Parametrami węzłowymi są natomiast wartości funkcji v i jej pierwszych pochodnych w punktach Q/\ j - 1.2,3, a w punkcie Oj - tylko wartość v (por. z rys. 10.18), tzn.

» (Q'}\ i>i t(C/’). D₂ v (aj"). Jla } = L. 2. 3 oraz i> (fil")

Tak skonstruowane przestrzenie spełniają wymagania przestrzeni elementu skończonego Dodajmy, żc przestrzeń Herm i teki jest często wykorzystywana w praktyce, ponieważ rozwiązanie przybliżone wyznaczone tym wariantem MES ma ciągłe pierwsze pochodne w Qf\ j = 1,2. 3. Dla obydwu wariantów metod oszacowanie błędu jest takie samo i ma postać

5 = 0,1

gdzie u i u_h są odpowiednio rozwiązaniami dokładnym i przybliżonym.

Na tym kończymy konstrukcję przestrzeni z podziałem na trójkąty. Podamy jeszcze dwie uwagi dotyczące strony algebraicznej zadania przybliżonego (10.107). Tstotną kwestią jest obliczenie współczynników macierzy i prawych stron układu równań algebraicznych, odpowiadającego zadaniu (10.107). W ogól-