24 (378)

1 - Li cz by i ich zbiory

1.6. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI Z WARTOŚCIĄ BEZWZGLĘDNA

l.A.1. Niektóre równania z wartością kevurv«lA«lMM

1.6.1. Niektóre równania z wartoś«iq bezwzględną

a) Równanie | .v | + |.t — a | = b\ a > O jest równoważne alternatywie trzech równań w poszczególnych dziedzi- \ nach — częściach osi liczbowej:

dla x < O

dla O < x< a

+

dla x a

—x — x a — b b — a

x — x -t- a = b a — b

Równość ta może być: albo prawdziwa albo fałszywa (w zależności od wartości u i f») i wtedy może tu być albo nieskończenie wiele rozwiązań CjCj    (przedział (O: a)) albo nie być ich wcale

Rozwiązaniem są liczby x spełniające poszczególne równania i należące do poszczególnych dziedzin, b) Równanie |.v — a| + |x — fe| + |^ — c| = </;a < b < c jest równoważne alternatywie czterech równań w po- i szczególnych dziedzinach — częściach osi liczbowej:

dla x < a

dla a < x < b

dla b x < c

x —a -ł-jc —b -ł-jc —c —d _ d + q +b +c

—x -ł-a —jc -ł-b —-x -t-c =d

„ _d —a —b —c

^X ~    —3

x —a —jc -ł-b —jc +c —d x —a +x —b —jc + c =d V    V

jc =—( d +a —b —c )    jc —d + a +6 —c

Rozwiązaniem są obliczone liczby x należące do poszczególnych dziedzin.

1.6.2. Niektóre nierówności z wartości*! bezwzględne!

a) Nierówność \ x\ \ x — a \ < tr, a > O jest równoważna alternatywie trzech nierówności w poszczególnych dziedzinach — częściach osi liczbowej:

dla jc<0    O < x <a    x >a

+

O

V

—x —x+ a<. b b —a

^X H -2

x—x+a<b a < b

x +x — a< b a + b

Nierówność ta może być: albo prawdziwa, albo fałszywa (w zależności od wartości a i b) i wtedy może tu być rozwiązaniem przedział (O ; a ) albo 0

Rozwiązaniem jest suma rozwiązań poszczególnych nierówności w poszczególnych dziedzinach, b) Nierówność J jc| -t- | jc — a \    \ x — b\ ^ c; a < b jest równoważna alternatywie czterech nierówności w po- |

szczególnych dziedzinach — częściach osi liczbowej:

dla x < O

dla O < x< a

dla a < .v < b

dla .v > b

O

-ł-

b

—x —jc +a —x +6 > c

c —a —b —3

jc —x + a —x + b > c x < a -+■ b —c

x +x — ci —jc -t- h > c x > c -ł- a — b

x -ł-.v — <i -ł-.v —b > o

.v > c.±.q.±..fe

Rozwiązaniem jest suma rozwiązań poszczególnych nierówności w poszczególnych dziedzinach.