264 (18)

528 20. Elementy anali/y macierzowej obwodów

traktować jako uogólnienie wzoru

x = e^/ł<' '^o,x₀,

będącego rozwiązaniem równania różniczkowego

= Ax,

dx

dr

jeżeli x₀ jest wartością początkową x w chwili r = t₀.

Funkcję macierzy wyznacza się za pomocą wzoru Sylvestera.

20.6.2. Wzór Sylvestera

Wartości własne macierzy kwadratowej A są pierwiastkami równania

det(żl — A) = 0,    (20.31)

czyli

ż-un	~«I2 "	• ~aln
-«21	^A~°22 "	■ ~<*2n	= 0	(20.32)
-«nl	~^Un2 "

Macierz kwadratowa o wymiarze n ma n wartości własnych. Można udowodnić, że wartości własne symetrycznej macierzy kwadratowej są liczbami rzeczywistymi.

Załóżmy, że macierz kwadratowa A ma n jednokrotnych wartości własnych ż₂,..., /.„, będących jednokrotnymi pierwiastkani równania (20.31). W tych warunkach funkcję/(A) macierzy A przedstawia wzór Sylvestera

(20.33)

/(A) = X F(/,)M),

i ~ 1

gdzie

FW = fi

(20.34)

j= 1 ^Ki ^Aj i* i

Dowód tego wzoru pomijamy.

Przykład. Wyznaczymy funkcję e^At, jeżeli A Wartości własne macierzy są pierwiastkami równania

c?> I'

;.²-6/.-7 = 0.

_a >tą(J /., = —! oraz /., = 7. Zgodnie ze wzorem (20.34) otrzymujemy:

F(ż.) =

a-;.₂i

A-2,1

F(a₂) =

S0KM3-

Wobec tego przy uwzględnieniu, że f(s) = e*, mamy na podstawie wyrażenia (20.33)

e

Al

= eⁱ‘^,F(;.₁) + c'^li,F(;.₂)

—\~² 4] ?T⁶⁴~

T|_ 3 —6J T|_3 2_'

Wzór Sylvestera jest prawdziwy w przypadku jednokrotnych wartości własnych macierzy. Informacje na temat wyznaczania funkcji macierzy kwadratowej w przypadku wielokrotnych wartości własnych można znaleźć w pracach [5, 34, 46].

20.6.3. Przykład jednorodnego równania stanu

Rozwiążemy jednorodne równanie stanu

M-C 3 [:;]■ -Cl

d_ dr

przyjmując warunek początkowy x,

Na wstępie wyznaczymy wartości własne macierzy

terystyczne tej macierzy przybiera postać

A-l -2

X-2

= 0,

1 2

3 2

. Równanie charak-

a stąd znajdujemy

;.²-3/-4 = 0.

Wartościami własnymi omawianej macierzy są Aj = — 1, /.₂ = 4. Rozwiązanie rozpatrywanego równania stanu przybiera postać

exp

[1

2 3 2

t}\₀.