268 (11)

!•. F«« keje potęg owe, wy

kiadnicie i I o g a r y t m I « x n •

10.2. Funkcja wykładnicza

10. FUNKCJE POTĘGOWE, WYKŁADNICZE ILOGARYTM1CZ

10.2.1. Definicja, wykres i własności ffunkcii wykładniczej a) Funkcja wykładnicza (argument w wykładniku) to funkcja postaci: jr *-* v = a*, </ > O, x € /?

Uwaga: Dla a — 1 funkcja wykładnicza y = a*= 1 staje się funkcją liniową (stałą), stąd też w definicji można przyjąć dodatkowo, że a =£ I.

b)    Dziedzina funkcji wykładniczej: D_a. = R

c)    Własności funkcji wykładniczej

(1)    (a > l) =» I(y = a') /l (f. rosnąca)

(2) (O < a < I) =* Uy = a') \J (f- malejąca)

(3) (n = 1) -> [(y = l)](f. stała)

(4)    (a / l) =» y = a* (jest różnowartościowa)

(5)    A a* > O (funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla x €

• >o

(6)    brak miejsc zerowych

(7)    brak ekstremum

(8)    punkt szczególny: P = (O; l)

d) Wykres funkcji wykładniczej to krzywa wykładnicza — jej położenie zależy od wartości podstawy a (>0).

y = l

P = (O; 1)

dla a == 1

Uwaga 1: Dla a # 1 funkcja wykładnicza jest różnowartościowa.

Uwaga 2: '\Afykresy funkcji: y ⁼ o \ y =    są do siebie symetryczne względem osi OY^a e(l;+oo)«*-j6(0;l)|

Uwaga 3: "Wykres funkcji wykładniczej y = a* ma asymptotę poziomą: y = O (oś OX — por. 11.1.1.)

lim a

U

dla a e (O; l) +oo dla a > 1

lim a

■

+ oo dla a e (O; l) dla a > 1

e)    Własność funkcji wykładniczej: y = a* dla (a > O A a ^ l) wynikająca z różnowartościowości i stosowa-na do rozwiązywania równań wykładniczych:

(a*‘= a*¹ J » (*,= jc₂) (podstawę a można opuścić)

f)    Własności funkcji wykładniczej y = a ;(a > O A a 1) wynikające z monotoniczności i stosowane do rozwiązywania nierówności wykładniczych.

dla 0 < a < 1		dla a > 1
a*' < a*^1	a*' > a**	a '< a ^1	a^x‘ > a'^1
Z	Z	Z	Z
xt> xx	x,<x2	xt<x2	xt>x2
Dla a e (O, I) wartości funkcji:		Dla a G (1, -t- 00 ]	wartości funkcji:
	*f(* 2) = °^Ml	f(x.) = a*'	f(x2) = a**
są w odwrotnej zależności, jak argumenty x, i x2.		są w takiej samej zależności, jak argumenty .v		‘ -V j

Uwaga: Zależności w powyższej tabeli odnoszą się również do nierówności słabych.