289 (15)

578 22. Zastosowanie przekształcenia Fouriera

Na podstawie wzorów (22.7) oraz (22.8) stwierdzamy, że w otrzymanej zależności pierwsza całka jest parzysta, natomiast druga całka jest nieparzysta względem w, a całkowanie wykonuje się w przedziale symetrycznym, wobec tego

+ Q0    00

J [F,(<o)coscot + .F₂(ć<))sina>t]dco = 2 { [F^cujcoscor + F^cujsintyfldty,

— 00    O + 00

J [F, (<y)sincot - F₂ (to)cosa)f]da> = 0.

—    00

W związku z powyższym otrzymujemy

1 *

f(t) = - f [F,(ćo)cosa)t + F₂(a))sin(yt]da).    (2141)

ⁿ o

Ze wzorów (22.7) i (22.8) wynika, że jeśli funkcja/(t) przybiera wartości rzeczywiste, to również funkcje F_x(co) oraz F₂(co) są rzeczywiste. W tych warunkach można obliczyć całkę zawartą w wyrażeniu (22.41) na drodze numerycznej, gdy znane są funkcje

Fjfco) = Re[F(<w)] oraz F₂(cu) = —Im F(a>)], przy czym F(co) jest znaną gęstością widmową.

22.5. Obliczanie odpowiedzi układów liniowych

Rozpatrzymy stabilny układ liniowy o parametrach stałych, niezależnych od czasu. Niech x(t) oznacza wymuszenie, a y(t) — odpowiedź układu na to wymuszenie (rys. 22.15).

x(t)		yCt)

Rys. 22.15. Schematyczne przedstawienie układu liniowego

Wyrazimy odpowiedź y(t) tego układu w zależności od jego odpowiedzi impulsowej r_ó(t), omówionej w p. 16.7.3. W tym celu wymuszenie x(t) przedstawimy w postaci bardzo wąskich impulsów prostokątnych o szerokości dr, następujących bezpośrednio po sobie (rys. 22.16). Pole impulsu działającego w czasie od t = r do

Rys. 22.16. Przedstawienie funkcji x(r) w postaci impulsów o szerokości dr

t - r + dr wynosi x(-c)dr. Rozpatrywany impuls potraktujemy jako funkcję impulsową Diraca o polu x(r)dT. Odpowiedź układu w chwili orna ten impuls wyraża się wzorem x(r)dt r_g(t — r). Odpowiedź układu w chwili f na wymuszenie x(t) jest równa sumie odpowiedzi na wszystkie impulsy działające do chwili r, wobec tego

t

>’(<)= | x(t)r_a(t-T)dT,

—    X

a stąd

y(t)= J *Wr_a(t-T)dT,    (22.42)

—    oo

bowiem r_s{t — t) = 0, gdy t > t. Stwierdzamy zatem, że odpowiedź układu na wymuszenie x(t) równa się splotowi funkcji x(t) oraz odpowiedzi impulsowej r^(r) tego układu (por. wzór (12.16)).

Biorąc pod uwagę, że gęstość widmowa splotu dwóch funkcji równa się iloczynowi ich gęstości widmowych, mamy

Y(co) = R_d(co)X(co),    (22.43)

gdzie gęstość widmowa odpowiedzi impulsowej

R_t(a>) = f r_d(t)t-^ia>‘dt = J r_a(r)e^_j“'dt,    (22.44)

— oo    0

bowiem r_d(t) = 0 dla t < 0.

Transformata Laplace’a odpowiedzi impulsowej układu równa się jego trans-mitancji T(s), czyli (por. p. 16.7.3)

T(s) = J r_d(t)e~^stdt.    (22.45)

o

Przyjmując s=jco w tym wyrażeniu, otrzymujemy transmitancję widmową T(jw) układu. Z porównania zależności (22.44) oraz (22.45) dla .s = jo> wynika, że gęstość widmowa odpowiedzi impulsowej układu równa się jego transmitancji widmowej,

czyli

R_a(<o) = T{jto),    (22.46)

a po podstawieniu do wzoru (22.43) otrzymujemy

7(m) = TQo)X(o)).    (22.47)

Zgodnie z otrzymanym wzorem, gęstość widmowa odpowiedzi układu równa się iloczynowi jego transmitancji widmowej przez gęstość widmową wymuszenia. Otrzymany rezultat pozwala stosować transmitancję widmową w obliczeniach wykonywanych za pomocą przekształcenia Fouriera.

Wzór (22.47) umożliwia również określenie transmitancji widmowej jako ilorazu gęstości widmowych odpowiedzi i wymuszenia.