2 (1939)

132______________ODPOWIEDZI. WSKAZÓWKI. ROZWIĄZANI*

1.12 a) Jest: b)jcsi: c) nic jest; d) jest: o) jest; t> jest.

Rozwiązanie. Ciąg (o*) jest arytmetyczny wtedy i tylko wtedy, gdy rudnica u„,, - </, jest stała, tzn. nie wilczy od liczby n.

a) o,,. i = 2 (« +11 = 2/; + 2. </,. i <i„ - 2/i + 2 - 2/r = 2. Różnica o„ . , -a, jest równa 2 dla każdej liczby całkowitej dodatniej n. więc (n,) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy 2. c) er, 4-1=2. /ij- o- 9-4 = 5. Różnica między dwoma kolejnymi wyrazami ciągu (rrj nie stała, więc ciąg nie jest arytmetyczny.

1.13 a) Tworzą; b) nie tworzą; c) tworzą.

Rozwiązanie. Liczby o. b. r tworzą ciąg arytmetyczny wtedy i tylko wtedy, gdy b= ^w .

ności) ciąg arytmetyczny.

2v'2(V2 -1»

r‘2 -1

a +C 2 [2

—^—    -,— = ■!2 =l>. więc liczby o. b. c tworzą (w podanej kolej-

1.14 a) i = 2; b).v=2 lub a = 3: c) v = 35: d) v = kx, gdzie ke C.

Rozwiązanie. Musimy znaleźć takie liczby «, aby środkowy wyraz ciągu był równy średniej arytmetycznej wyrazów skrajnych, a) Szukana liczba jest rozwiązaniem równania 4x I =    ' ‘ ^    ' . Mnożąc obie strony równania przez. 2. otrzymujemy równanie

2(4.v-l) = :Vi + S. Stąd.t=2.

_    tg X    uA. "tą—COS A*)    ł{j|] y    I — COS* V

«!> Założenia: .v = -y + k;r. gdzie te C. Z równości ----- -—-;- otrzymujemy równanie    ^ ^ ' Korzystąjąc z jedynki

trygonometrycznej, otrzymujemy równanie situ =.sin’v, a stąd równanie sin.ilsinx-1)=0. gdzie x *4-+- A./r. k~ C.

sm.rtsin.i-11 = 0 » (sin r = 0 v sina = lj es ix-k~ v x=-j+2kx). gdzie kc C. Uwzględniając założenie j*-£■ + Avr. stwierdzamy.te szukanymi liczbami są liczby x =Azz gdzie fce C.

1.15 a) 1,4;    b)<r.| = 35:    c)a„= l,4n 4-5,6.

Rozwiązanie, a) Wiemy, że 2<i,=<i,„ Ciąg (<r„)jest arytmetyczny, więc + (6- I )r. gdzie / jest różnicą ciągu (oj. Zatem 2-7 = 7 + 5r.stid / = -jr = 1,4. b) «i.| =/?:+20r=7 + 20-l.4 = 35.    c)//..=(/, 4-(;> l)r=7+(n- 1)1.4 I.4// + 5.6.

1.16 a)«i=5. r=3:    b)cł_-=3n+2.

Rozwiązanie, a) Ciąg (fc„) jest arytmetyczny, więc wyrazy b_:. />, i b- możemy wyrazić za potnncą&i t r. gdzie r jest różnicą ciągu (</,):

h + ' = ^x

[ą + -ir+b\ + 6r = 4<)’

k tórcgi i rozwiązaniem jest

!>: = !>: \-r. b. b, 4 4r, bi = ł>i+6r. Wiemy, że /.<• = S i b< +/>? 4I). Mamy więc układ równań

para liczb&i = 5 i r = 3. a) />_h = />,-H'm-l)r=5 + (n-])-3 =3«4-2.

1.17    a) I225: b|lt»4l); c)532.

Mozwbzanic. W każdym z. przykładów mamy sumę n kolejnych wyrazów pewnego ciągu arytmetycznego. Obliczając sumy korzystać będ/.k*-

.. "i + «..

my ze wzoru .S„ =----n.

I -ł 49

a)    Mamy sumę 4‘> początkowych wyrazów ciągu. .V.., = —— 49 = 1225.

b)    Mamy sumę 4I początkowych wyrazów ciągu, więc Su = --"U l = 1640.

c)    Mamy sumę n początkowych wyrazów ciągu (//,). którego pierwszy wyraz, jest równy I. ;i ru/nicu równa jest 3. /r-ty wyraz jest równy 55. więc I+i«-D-3-55. $tąd«= 19. Zatem S_iV- ¹ *^-19 = 532.

1.18    21.

Rozwiązanie. Skorzystamy ze wzoru .S'_n =    ⁺|^M--^1>f „    | s«> - ■~"¹    • u. stąd otrzymujemy równanie 37S = fi.5/r + 7.5/r. a następ

nie równanie >r + 15/1-756=0, którego rozwiązaniami są liczby «,=-36 i n_: = 21. n jest liczbą naturalną, więc ciąg (//„) składa się z dwudzie-stu jeden wyrazów.

1.19 a) r--2:    b)-!40.

Rozwiązaniu, a) «| = 3. </| = 3 + 3r. n<, = 3 t- 4r. gdzie r jest różnica ciągu (</J. Równanie kwadratowe (3 +3rj(3+4r)= 15 sprowadzamy d) postiici 12/ ' 1-21 r 6 = i), a po podzieleniu obu stion równania przez. 3, do postaci 4/ + 7r - 2 = 0. Rozwiązaniami równania są liczby r, = i rj = D,25. Ciąg (rt„) jest malejący, więc różnica ciągu jest ujemna. Zatem r, = 2.

b| 5m=

14 = -141).

2-3 -t-l 3-1—21 2