304 (18)

608 25. Obwody nieliniowe prądu okresowego

a) Podstawiając u = 2sinwt do podanego wielomianu i wykorzystując wzór (25.6) na sin²wr.

otrzymujemy

i = 0,12+0,42-2sinwt+ 0,20-4sin²wt = 0,52+0,84 sinwt —0,40 cos 2ojf. b| Wartość skuteczna prądu w elemencie nieliniowym

c) W rozpatrywanym przypadku moc czynna elementu powstaje w wyniku współdziałania napięcia z pierwszą harmoniczną prądu, wobec tego

2 0,84

P = —•—cos0' = 0,84W.

V2 yf2

Przykład 2. [74] W obwodzie podanym na rysunku 25.9 znajduje się kondensator nieliniowy, którego charakterystykę aproksymuje wielomian t/= 3.6 10 u + 2.6-10" ¹²u³, przy czym ładunek ą wyrażony jest w kulombach, a napięcie u w woltach. Do obwodu załączono napięcie u = 200_v/2sin wt woltów o częstotliwości / = 400 Hz. Wyznaczyć wartość chwilową napięcia na oporniku R, jeżeli

R = 10D. L = 0.3 H.

Rys. 25.9. Przykład obwodu nieliniowego

Przy obliczaniu prądu i pominiemy napięcie u_R na oporniku, wobec tego założymy, że na zaciskach połączenia równoległego elementów L. C istnieje napięcie u. Podstawiając u = 200 _v/2sin tut do podanego wielomianu i uwzględniając tożsamość trygonometryczną (25.6) dla sin³wt, otrzymujemy

q =(1,4610 ⁴sinwf—1,47-10 ⁵sin3wf)C.

Wartość chwilowa prądu w gałęzi zawierającej kondensator:

d q

i_c= — = (0,366cos wt — 0,111 cos 3wr) A, di

przy czym w = 2tt-4(X) = 2510rad/s.Wartość chwilowa prądu w cewce:

200 J2 2510-0,3

sin(wt—90°)= — 0,376coswt A.

Wartość chwilowa prądu w połączeniu wynosi

i = i_c + i= (—0,01 cos o)t—0,111 cos 3wf) A.

Wartość chwilowa napięcia na oporniku:

u„ = Ri = (—OJOcoswt— 1,1 lcos3wt)A.

Założenie przyjęte na początku obliczeń jest uzasadnione, bowiem napięcie u_R jest nieznaczne w porównaniu z napięciem zasilającym.

25.3.2. Aproksymacja za pomocą funkcji wykładniczej

Niektóre typowe charakterystyki elementów nieliniowych można aproksymować za pomocą funkcji wykładniczych. Tak na przykład krzywą z rys. 25.2 można aproksymować za pomocą wyrażenia

i = ashbu = ^(e^t“—e~^bu), (25.9))

przy czym współczynniki a, b mają wartości stałe. Krzywą z rys. 25.3 można aproksymować za pomocą wzoru

i = a(e^bu-1), (25.10)

przy czym współczynniki a, b są stałe.

25.4. Parametry statyczne i dynamiczne 25.4.1. Opór statyczny

Oporem statycznym opornika nieliniowego w punkcie A charakterystyki nazywamy iloraz napięcia u przez prąd i w tym punkcie charakterystyki, czyli

(25.11)

Niech m_u, w, oznaczają skale napięcia i prądu; wielkości te podają liczbę woltów lub amperów przypadającą na jednostkę długości na wykresie, wobec tego wyraża się je w np. V/mm lub A/mm. Na podstawie rys. 25.10 mamy

u = m_uOA", i — mpOA',

Rys. 25.10. Interpretacja geometryczna oporu statycznego