30 (282)

oraz

(A^rM AN~^lA^rM A)“

(0| ]Qi t    ) * Oj

o ’ oj

gdzie:

= = €>nQ_n+©_l2Qf₂

Ol, = A ;MA j . Q_J2 - Aj M A 2. Q 22 - A 2 M A ₂,

0 j i — Qj jNj | -t-Q|2^l2' ©12 “ Q[ 1^12 ⁺ Ql2^22»

0tj = QpN| j + QN[•}, 0->₂ — Q|tNj-> + Q22

Jeśli wyznaczymy z zastosowaniem wzoru (1.37) iiogólnioną odwrotność Amn , uzyskamy

A MN = N“’ A^yM A (A⁷ M A N'"^,A^rM A)“ A^rM =

=		(©1 ]Qi i "*■ ©|2Ql2 )	0	a[m
	©12 ©22 |	0 L	0	_aJm
	Qn(QmQn +Qi2Q/2)~^1A|i’m I
	q!'2<QhQ.	^+ Ql2Qf2r^lA?^,Mj

lub. zapisując inaczej,

‘•MN -

|®[ 1(0. iQu

L°12 j

(1.38)

Załóżmy, że

[N,	: 0 '	___>N-> =	Nj'^1 0 1	nm	0
L ^0	^: N2.		0 N7^1 J	0	n22_

przy czym N pozostaje nadal macierzą symetryczną. Wówczas

©u ”Qti^m ₊QpNf_a =Qii^Ni¹ 01 2 ⁼ Q1 |b* 12 tQ |iN 22 ~ Q !2^2

oraz

0, iQi i + 0₁₂Q?_?. - Qi iN7^łQ, i +Q,₂N2¹Qf₂

W takim przypadku uogólnioną odwrotność A^_1N można zapisać w postaci

A MN -

Nr‘Qii

N 2^lQ{₂

(Qmⁿi ^lQn +Q|2N₂'Q?2) ¹Af M

(1.39)

(przypomnijmy, że Q_n = A [ M A [*. Q₁₂ = A { M A ₂ ). Załóżmy teraz, że

N =

I.

"I..    0

0 I.

Wówczas A^.jjs) = A_MI =Aiyj oraz

^kM

Qn

Q?2

(QnQi ] ⁺ Qi2Qi2) ^1A r M

(1.40)

Odwrotność A^, wyrażona wzorem (1.40), jest nazywana często uogólnioną odwrotnością Hel mer ta-Wolfa.

Przyjmijmy, że także M = 1^. Wówczas

Q u — A f A |, Q12 — A [ A 2

a następnie

Uogólniona odwrotność

A

+

A[A

a Ja

i

i

(A j A | A f A j + AI A o A J A |) ^ A f

jest nazywana odwrotnością Mooreki-Penrose^.

31