30 (434)

160__________________ODPOWIEDZI. WSKAZÓWKI. ROZWlĄZJm

56.    <i„=2fi-5.

57.    we(12;+<w).

Wskazówka. \Vvkoż.żejeśli«>0. i<> </' +-L->2.

a'

58.    Szukanymi wyrazami są liczby b i 5.

Wskazówka. ₍ -u² = (</„., | - n„) Ui_n. i + ii,,> = ri 2</,, + r) = -11. gdzie /-jest równicą ciągu («_ir).

59.

Rozwiązaniu. Ciąg log_A v. log_/Itv. I»g„.i jest urytmelyezny. więc 2log_w.\ - log.i + log „ i. W równości. którą mamy otrzymać. nic wy pujcx. l iczby i „pozbędziemy się", dzieląc obie strony równania 2log_mA = !og_xv + log_n r przez log_wrr {możemy dzielić pr&; Inę_m r, Musi. n <\r Ing^A/Hj i korzystając t. Iw. o zamianie podstawy logaryimu. Dostaniemy wtedy równość 2=log_; «i + log_;im. Stąd !og_;iwr = 2-log_ł.u

Korzystając z dcf. logaryunu, otrzymujemy równość n" ^l"'‘¹ =in. Stąd n~ - m fi*"¹'*

, Iocl m    2    log, m .Ing,;/; log. m    logi ni

m-k * . Więc n = m-n ^e* =k ** n    = (kn) ** .

⁶⁰-    ₂ a

Rozwiązanie. Wiemy, ze />’ = — —.

Aby wykazać. Ze liczby —. — j—.    tworzą ciąg arytmetyczny, wystarczy pokazać, ze    =-y=—.

____2<2iM<ifc) _ y

/>+<■ a+b (b+c)(a+l>) b²+ac+«h-i-bc dL+fz. +_(H-r<ib+bc o²+c²+2ac+2<ib+2bc    (a+c)²+2h(a+c\ (d+c)(«+c+2/>)" a+r"

o+bib+c

2b+a+e

Ih+u+r

2{2b+<i+c\

2t 2h \ut H)

I    1(1    I '

Wskazówka. Zauważ. że -= — •---j.

«ł°ł»l    ^r Uk    "*+|/

62. a> —b)    c) ,S„    *\.

63.    a) Uoraz:    4*    b)<i,.= —c) dziewięć wyrazów.

Rozwiązanie. rti=Oi</'‘-48</^;. Wiemy, że 48=48^+ 36. Stąd q² = ~. zateuw/ = 4 Iub</ = -~i-. Gdyby iloraz ą byI równy -i. to w/*)byłby ciągiem rosnącym (więc byłby ciągiem monotoniezitym). Zatem </ = —^

64.    zi« = 54'^-*-y '.

Rozwiązanie. </ iloraz ciągu R). rx₄ - orf. więc    = -jj-. StątJ r/= —lub r/“4'    ■/' -4. to ciąg (</,) nic jest momitoiliczny. v.śjc

)    / -y \ft"l

równości 0:=r/|X/ otrzymujemy <i_t=54. Znając iloraz i pierw szy wyraz ciągu, zapisujemy wzór ciągu («„l: a, = 54 f -y J

65.    a)«, —:    b)o, = — •3^B.

27    81

66.    a)«, 7. rti = 28.

Rozwiązanie. b)r/„=2'    '+2'^- ł-2™ ¹ = 2-2’+ 2" + 0.5-2" = 3.5-2'.    + j = 3.S-2" ¹ - ',5-2-2ⁿ Dla każdej liczby całkow itej dodatniej n

2. Iloraz dwóch kolejnych wyrazów ciągu ta i jest stały, więc ciąg jest geometryczny.

mamy:

<>*» _ 3.5 2 2"

3.5-2"

67.

Rozwiązanie. Gza. </., - iloraz ciągu (a„). x/,. iloraz ciągu (b„). Musimy wykazać, że iloraz —' - ma stalą wartość dla każdej liczby n c C„

y;— = y/<7„ <ih • więc <c„.i jest ciągiem geometrycznym o ilorazie

i.    i,    _ : _T ..    ¹ 'u * I    >Av/„4v/fc |‘V/.i b„ą,,

' • • i “ r*^J.i +1 A +1 - S^an<la ' ^b:\‘lb ■    ~-7 —--J —--

<« yjo_nb_n V