31 (426)

161

ODPOWIEDZI. WSKAZÓWKI. ROZWIĄZANIA

68. a}8; b) 512.

». 2.

RtCY/ijzanie. q - iloraz ciągu (o„). a-. iit. ai = a\q*-a\q' aaf - Uh)' q ~ (tfir/⁵)¹ = (o*)' = 64. Stąd <i«,=4. a, +a* = 4.l25. więc <i|=0.125.

70. -2560.

fonriązoni*. Wiemy, że dla każdej liczby całkowitej dodatniej n zachodzi równość a„ = ^ • Jeśli q jest ilorazem ciągu <«„>. to

a,, )=<j_t q i a»,: = a_n q‘. Zatem a» = ¹¹ . Dzieląc obie strony tej nierówności przez, o, (mofe/ny dzielić przez /*>«/., * 0) i mnożne

KKz 2, otrzymujemy równanie kwadratowe </•'+q = 2. którego rozwiązaniami są liczby = -2 i - 1.

Jeśli I. to ia_m) jest ciągiem stałym, więc jest ciągiem arytmetycznym o różnicy równej 0. Zatem </ -2.

Obliczamy dziesiąty wyraz ciągu to_n): aio=«i</ = 5 l-2)“ = -5-512=-25fiO.

71. li.

72. 610000 zL

Rorwiazanle. c-ccna nowego urządzenia. Wartość urządzenia |»> upływie kolejnych lal, to kolejne wyrazy ciągu geometrycznego o ilorazie ij=0i. którego pierwszy wyraz równy jesi r. Wartość urządzenia po siedmiu latach jest ósmym wyrazem tego ciągu, zatem c ■ (0.5)' - 5000. Stąl c = 5000 2⁷ = 5000 128 = 641) 000 t/l).

73. a) 80/170 gr: b) o 34%; c) o 52%. 74. a) 75 zł; b) z dziewięciu etapów.

75. a= 126.6=216.

Rozwiązanie, p, 2/». Ap - pierwiastki wielomianu IV(*). H'( o = (v-/nu-2/>) (\-4/>) - V-7p\~ + M/.- r-.Sp'.

Wielomiany r^,-7/>.t^ł+ 14p^ł.r-8p* i x^,+2l.v*’+ttt + 6 są równe, zatem —7/»=21, 14/>^:=<i i -S/>'-/>.

Stąd otrzymujemy: /» = -3. <1=14-9=126. /»=-8-(-27) = 216.

76. a=2.c=IS lub o=l8,c»2.

77. a=^n + 2kn lub </=-■’ x + 2kx, gdzie kc C (cos<z=-0.5).

78. a=Ą-+kx, gdzie*€ C.

Rozwiązanie. Znajdziemy te liczby a, dla których zachodzi równość sin^:a=tga cos^:a. Równość tę sprowadzamy do postaci 'inrtsiiwz - cos a) = 0. gdzie a * ^ + k.T. k e C. Zatem sina = 0 lub sina = cos a gdzie a*Ą- + kx (k € C). Rozwiązaniami równania nnff=0 są liczby a-k.z gdzie *€ C. Gdy a kx(kę O. to otrzymamy ciąg <t>. 0. 11, który nic jest geometryczny. Dzieląc obie strony tów-aania siner=cosO'przez cosa (umiemy dzielić pnez cosff, bo cr*-y * kx, gdzifkG C. więc cosar 0). otrzymujemy równość tga I. którą spoinują liczby «=-j +kz. gdzie k o. C. Gdy n = +kx gdzie ke C. to wyrazy ciągu są różne <*1 zera. więc ciąg jest geometryczny.

80. „=I0^ lub p=nr^.

82. r=£ lub x = S.

Rozwiązanie, o = I + log ₂ 3 = log ₂ 2 + log ₂ 3 = log - 6. log * fi = ^ ^. więc c = -^-log* fi = -Jh»g_: fi. Dane liczby >ą kolejnymi

wyrazami ciągu geometrycznego wtedy i tylko wtedy, gdy ac - Ir. czyli wtedy, gdy * log ,fi • -^l<>g» fi = (log _t 36)'.

i i •> loa*36 2 log-i 6 . . , j i /2li>gł6.2

« =log₂ó ^U'g26 = (ylog₂fi) . b — log,36 ¹ ——— = \ • Rownosc # możemy więc zapisać w postaci (-=log₂6) ( _|o^ ~~t-

(l|„g,6)² =( ~_[^K>g:ft)² wtedy i tylko wtedy, gdy t^,op-⁶ = T^T ^lub i'^b>g2 6 = “T^JTr ^S,*^d otrzymujemy: log»v=3 lub log _:.» = -3.

Zatem .r = 8 lub »=

83.

Rozwiązanie. 3 + 2^2 = (VI)² +1 + 2-72 =(71+ I)² . Zatemb = log (VI + I)² =2log (VI-t-1)-2<r. Sprawdzamy,czyc«2b: 2/>=2k>g (3 + 2-VI) = log (3 + 2VI)² log (17 +I2-VI) -c. Wykazaliśmy, że (</. b. c) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie 2.