383 2

38>

8.6. Równania różniczkowe cząstkowe

' 24 pomocą funkcji zależnych od skończenie wielu parametrów określa się jako me-jiitża. Wobec poprzednich uwag metoda Ritza jest często równoważna metodzie rterkina. jednak nie zawsze tak jest; zob. [101].

Zdóiwy następnie, że /=0. Wtedy, jeśli to możliwe, przestrzeń H, trzeba zbudować ^wiązań szczególnych równania różniczkowego, tzn. ma być Au=Q (Vu e//,). Dla dwuwvnłiar°^wc8° równania Laplace’a rozwiązaniami szczególn>mi są części raeczy-Tsja i oroiona dowolnej funkcji analitycznej (zmiennej .t-f ły). Do aproksymacji warunków błzegd^w5'^{cil 1T10}^^{Da uż}>'ć minimalizacji normy ||J?u—ff||, kollokacji lub metody Galerkina. W poprzednich wzorach A i / należy zmienić odpowiednio na B i g, a iloczyny skalarne powinny być całkami (lub sumami) na brzegu.

Na koniec, opisane metody można stosować i wtedy, gdy w przestrzeni H„ ani równanie różniczkowa, ani warunki brzegowe nic są spełnione, ale wiedy n musi być tak duże, teby można było przybliżyć się do rozwiązania i równania, i warunków.

W tej ogólnej postaci przedstawione wyżej pomysły' można zastosować do zadań, w których równania różniczkowe lub -warunki brzegowe są nieliniowe. Jeśli jedne z nich są liniowe, to H_m można zbudować zgodnie z powyższymi sugestiami. Układy nieliniowe hib otrzymane zagadnienia minimalizacji można badać metodami z § 6.9 lub § 10.5.

8.6.5. Metoda elementu skończonego

Metoda elementu skończonego jest metodą przybliżonego rozwiązywania zagadnień fizycznych, określonych np. za pomocą równań różniczkowych z warunkami brzegowymi lub zasad wariacyjnych. W porównaniu z innymi metodami jest ona skuteczna, gdy obszar występujący w zagadnieniu ma skomplikowany kształt lub gdy obecne tam funkcje zachowują się bardzo różnie w poszczególnych częściach obszaru. Jest to ważne narzędzie mechaniki strukturalnej, ale metoda ta ma wiele innych zastosowań; zob. Odeń [120].

Obszar wyraża się w przybliżeniu przez układ skończenie wiciu podobszarów o prostym kształcie (np. trójkątów), zwanych elementami skończonymi. Funkcje aproksymuje się skalnic na każdym elemencie za pomocą funkcji ciągłych określonych jednoznacznie Praż ich wartość i (i ewentualnie wartości niektórych ich pochodnych) w pewnych punktach, zdanych węzłami, leżących wewnątrz elementu lub na jego brzegu. Nasze ujęcie inter-,^ac^ ^{1 Cale}k podwójnych (w § 7.7.3) dla obszarów dzielonych na trójkąty jest zgodne metod elementu skończonego.

Większości przypadków' metody elementu skończonego można uważać za zasto-^me,0<iy Ritza lub Galerkina z ,,lokalnymi” funkcjami bazowymi szczególnego ro-Jt** Aby to wyjaśnić rozważmy najpierw’ najprostszy przypadek szczególny: interpo-^Pr2edziaJam' liniową jednej zmiennej (rys. 8.6.7). Elementami są tu przedziały £,= fankę"^ł>    2, ..., 5). Węzłami są punkty x_t (i=0, 1,...» 5). W każdym elemencie

^w    linią ciągłą określa się za pomocą interpolacji liniowej przez wartości

^a ^yęzłach z tego elementu. Tę funkcję można wyrazić w postaci

<8,6.

20)

Sk Ui/r