395 2

395

9.2. Podstawowe wzory i twierdzenia analizy Fouriera

A'ot*^c

funkcji / określa się wzorem

lI/Z

ll/IH/./)¹

•ch iloczynach skalarnych można wykonywać obliczenia niemal lak samo, jak na JoLzyn^flch określonych w § 4.2.2. Niezbędne modyfikacje są oczywiste. Podkreślmy w szcze-jitedści, że    o)- W przypadku ciągłym istotna jest tylko długość 2zr przedziału

całkowania, a nie jego początek, od którego iloczyn skalamy nie zależy.

TwiEltDZEME 92.1. Funkcje

?/*).= e"*    0=0. ±1. ±2. ...)

są ortogonalne w niżej podanym sensie.

Przypadek ciągły:

(0/. *>-{o

Przypadek dyskretny:

2it 0=*).

OM).

/m+1 (y

(9)> ?*)= j    \Ad

l 0 (w

-k

- jest całkowite

M+l

przeciwnym razie).

Dowód. Przypadek ciągły: Dla j^k mamy Dla j~k mamy

(= \    " ^i/xd^x = J dx**2n.

—« —*

Przypadek dyskretny, jc«=2.tx/(A/ + 1):

*    ^w T    2na 1

(?>> fit) = Zexp(i/.xJexp(-i*xJ = £exp ^lU-k)-r— ’

_B«o    a-o    L    Az + IJ

^^cst *° szereg geometryczny o ilorazie

U—A)/(Af-ł l) jest całkowite, to q= I i suma jest równa M-r 1. W przeciwnym razie ** ale ^⁺ⁱ=cxp(t(j—k)ln)=\. Z wzoru na sumę elementów ciągu geometrycznego *>Tiika zatem, że

Vk)^:

jn°    prawdziwości twierdzenia.

-1

q-l

0.