41 (456)

90

Liczby zespolone

a) Liczba i znajduje się w odległości 1 od O, a jej wektor wodzący tworzy z dodatnia pótosią osi rzeczywistej kąt o mierze — (rysunek). Zatem

b)    Liczba —1 znajduje się w odległości 1 od 0, a miara kąta <p wynosi x (rysunek). Żalem

1    KI

— 1 = C .

c)    Liczba 2 + 2« znajduje się w odległości 72² + 2² = 2\/2 od O, a miara kąta ip wynosi — (rysunek). Zatem

4

-«

2 + 2t = 2\/2e * .

d)    Liczba —4i znajduje się w odległości 4 od O, a miara kąta <p wynosi — — (rysunek). Zatem

Obliczyć podane pierwiastki. Wynik przedstawić w postaci algebraicznej i wykładniczej:

a) T^T; _b) ₂ + 2n/3i.

Rozwiązanie

a) I sposób. W tym rozwiązaniu wykorzystamy wzór na pierwiastki stopnia n z liczby zespolonej z ^ 0 o argumencie <p. Wzór ten ma postać:

& - { v/M (c

¥> + 2fcx . . ip -f 2fcx

+ isin

dla fc = 0,1,... , n — 1 j-.

Ponieważ | — 1| = 1 oraz arg( —1) = x, więc

x + 2kn    x -+■ 2fcx

cos--(-1 sin

7=7 =

- 2kx\ ,    . ,

--) , * = 0,j

..... x x . . x 5x . . . 5x 7x . . 7x cos — -f isin —, cos — + jsin —, cos — + isin —, cos    -f isin —,

66226 66 6

3x . . 3x llx . . llxj cos — + »sm —-, cos ——|- tsm ——- > L    2    6    6 J

Jv/31..    731.    73    1.    .73    1 \

11" ⁺ 2" T ⁺ 2" T " 2^łl " 2 ‘} •

Pierwszy tydzień - przykłady

91

W postaci wykładniczej mamy

f fi fi łfi fri ^>1

V-1 = <e ,e ,e ,e ,e ,e > .

II sposób. Niech

_ / V⁵ + 2fcjr . . y>-f2ł:jr\ . ,

Wk = VM ^cos--h Jsin-) , gdzie k = 0, 1,... , n — I,

\    n    n /

będzie fc-tym elementem zbioru pierwiastków n-tego stopnia z liczby zespolonej z = r(cos y? + isin y>), gdzie r = |z| oraz ys = arg z Dla z = — 1 mamy

= Vl (cos J + isin 1) = -^+ ji-

Wo

\/3    1

Pozostałe wartości możemy odczytać z rysunku, korzystając z interpretacji geometrycznej zbioru pierwiastków z liczby zespolonej. Jak wiadomo zbiór pierwiastków stopnia n ^ 3 z liczby zespolonej z pokrywa się ze zbiorem wierzchołków n-kata foremnego wpisanego w okrąg o promieniu {/t i środku w początku układu współrzędnych.

/j    j

Mamy w\ = i, u>2 = —-—h —i (bo Re u>2 = — Re wq, Im u>2 = Imuio)> ^3 ⁼ ~^wo ⁼

—    w\ — —i, u>5 =    — ~i. Jeszcze łatwiej odczytać z rysunku postać wykład-

2 2 2 2

niczą tych liczb.

2

b) Obliczamy |-2 + 2%/3*| = 4 oraz arg (-2 + 2\/3i) = -jt. Zatem

w₀= VI ^cos + isin = \/2 (cos ^ + isin 0 = V2    ^ = ^" +

^3    1 A y/i,y/2.

Pozostałe liczby odczytamy z rysunku, wiedząc, że leżą w wierzchołkach kwadratu.

1