518 2

518

12. Rozwiązania zadań

Rozdział lo § 10.2

1.    (a) .*ł“0. x₂ = I.    max/=3.    (b| .v, =0. x_z=l. max f= 5.

(c)*,=x,max/=j. (d) x, =0.    .v₃ = j, ma.x/=y. Równość jest osiąg,

nięta w tych samych warunkach, co w (a) s (b).

(c) M in. to, że imienne prawostronne w optymalnym punkcie dopuszczalnym mogą pozostać te same nawet wtedy, gdy wartości współczynników w zagadnieniu optymalizacyjnym znacznie się zmieniają. (Nie jest tak jednak zawsze, co pokazuje (c)).

2.    Zauważmy, że .v_s i x₆ powinny być zerem w punkcie optymalnym, gdyż w / mają współczynniki dodatnie i .są ograniczone tylko tym. że powinny być nieujemne. Dlatego x₆ i x₆ można wyeliminować. Wprowadza się sześć zmiennych wolnych:

3. c_u <^{1 2}/)•

e^7 =	1	. 2, 3	4	1	0.	0	0	0.0	. 0)	*
	"1	1 1	0	0	I	0	0	0 0	0"		16"
	1	1 I	0	0	0	-1	0	0 0	0		-8
A —	3	1 0	5	0	0	0	1	u 0	0	L _	6
/I —	1	1 3	0	0	0	0	0	-1 0	0	O =	3
	1	-1 0	0	5	0	0	0	0 1	0		-1
	1	-I 0	0	5	n	0	0	0 0	- i_
		^CLK~^CL	K -	^CLJ ^CUtf^Ci/				(L*J.	R*i)		1 !ctj.

1

10.3

(a)    Wprowadzamy dwa wektory y_, y_ spełniające związki y-y*—y-. y+^O, y->0. Wprowadzamy wektor wolny z taki. że y¹ A - z' =l>, z^O. Niech będzie Y¹ = = Ly+ ./ . z^TJ. Po pewnych przekształceniach otrzymujemy następujący wynik: Znaleźć maksimum [-ó^T. b.O] Y przy ograniczeniach [^^T. — A^r, -/) Y=c, YźO

(b)    Zadanie dualne dla zadania dualnego jest następujące: Znaleźć minimum —xc przy ograniczeniach — *^T [A^J. - A^T, - l]^l~b^T. b^T, O]. Jest to równoważne znalezieniu maksimum x⁷e przy ograniczeniach - Ax^-b, Ax^b. x^O. Pierwsze dwa z nich dają łącznie równanie = więc otrzymuje się rzeczywiście zadanie pierwotne.

2

§ 10.5

1.    (a) g(x) =■ ę»%*)^T = Gx - b. hesjan - <7 x istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy układ Gx=b jest zgodny. Wzór Taylora daje wzór (10.5.21).

(b) x_l=x_c-G ¹ (Gx₀- b)-G 'b = x. Wobec (10.5.21) x jcsl punktem minimum, jeśli G jest dodatnio określona.

2.    Stosujemy nierówność Schwarza do ^'(0)- ii'g{x_<J).