71 (82)

3.3.2. Zadania optymalizacyjne

Optymalizacja polega na wyborze takich wielkości argumentu *. dla których funkcja celu f(x)osiąga najlepszą, czyli optymalną wartość.

W niniejszym bloku funkcja celu /(x ) będzie funkcją kwadratową, wartością optymalną zaś będzie war- | tość ekstremalna (globalna lub lokalna) (por. z 3.2.lc.).

Przystępując do rozwiązywania zadania optymalizacyjnego, należy: j a) uważnie i ze zrozumieniem przeczytać treść zadania (często wielokrotnie),

b)    ustalić poszukiwane wielkości,

; c) ustalić zakres zmienności poszukiwanych wielkości, j d) nazwać poszukiwane wielkości literami (np. x i y),

c)    zamienić treść zadania z języka polskiego na język matematyczny,

f)    zbudować funkcję celu - najczęściej na początku jest to funkcja dwóch zmiennych x i y: f(x,y) - którą należy zoptymalizować,

g)    na podstawie związku między zmiennymi xiy(z treści zadania) wyrazić na przykład y poprzez x i podstawić do wzoru funkcji f(x;y), otrzymując z niej funkcję jednej zmiennej x: f(x)~ będzie to funkcja kwadratowa,

h)    wyznaczyć poszukiwaną wartość argumentu x optymalizującą funkcję f(x), stosując wiadomości o eks-tremum funkcji kwadratowej,

i)    ustalić wielkości: .v z zakresu jej zmienności (z dziedziny funkcji / (x )) oraz y z zależności y od x,

[ j) sformułować odpowiedź.

Przykład:

Ad a) Liczbę 100 rozłóż na dwa składniki, których suma kwadratów jest najmniejsza.

Ad b) Poszukiwane wielkości to składniki, na które należy rozłożyć liczbę 100.

Ad c) Składniki liczby 100 to liczby rzeczywiste nieujemne nieprzekraczające w sumie liczby 100.

Ad d) x, y-składniki liczby 100, x,y >0Ax,y e?Ar + y= 100.

Ade)

Fragment treści zadania (język polski)	Język matematyczny (modelowanie)
Rozłóż liczbę 100 na dwa składniki. Suma kwadratów składników jest najmniejsza.	100 = x + y x + y ma być najmniejsza

Ad f) Funkcja celu to suma kwadratów składników * i y f(x,y) = x² + y¹ (jest to funkcja dwóch zmiennych), która ma być najmniejsza, czyli ma osiągać minimum dla x, y > 0 A x, y e R A x + y = 100.

Ad g) Ze związku x + y = 100 obliczamy y = 100 - x i podstawiamy go do funkcji celu

/ x, 100 — jc

= *^:+(100-x)²=2*²-200x+ 10\xe (0; 100).

Ad h) Należy obliczyć wartość argumentu x, dla której funkcja f(x) = 2x²-200x+ 10⁴ osiąga wartość najmniejszą w (0; 100). Można w tym celu posłużyć się szkicem wykresu funkcji / ( x) - jest

nim parabola o wierzchołku w( p =—= 50; q -    - 5 • 10³ j

mająca gałęzie skierowane ku górze:

Funkcja /(*) = 2x²-200* + 10⁴ osiąga dla x_w = p = 50 minimum równe y_w~ q = 5 • 10³ (jest to najmniejsza wartość funkcji /(i) w przedziale (0; 100)).

Ad i) Zatem pierwszy składnik sumy: x = 50, drugi zaś: y=100-x = 50.

Ad j) Oto odpowiedź: Liczbę 100 należy rozłożyć następująco: 100 = 50 + 50.