8 (1665)

Biblioteczka Opracowań Matematycznych

Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa zmiennej aJ Y — 3X + 3; b/ Y = X² + 1; c/Y = 3X^}.

Rozwiązanie:

a/ Aby otrzymać punkty skokowe nowej zmiennej losowej Y wystarczy podstawić wartości punktów skokowych zmiennej losowej X do wzoru: y, = 3x, + 3. Stad po podstawieniu otrzymujemy: y, e {-3, 0, 3, 6, 9}. Ponieważ funkcja y = 3x +5 jest różnowartościowa, prawdopodobieństwa dla punktów skokowych zmiennej Y są takie same jak dla odpowiadających im punktów skokowych zmiennej X.

Yi	-3	0	3	6	9
Pi	0,3	0,1	0,2	0,1	0,3

Tabela 15.

b/ Punkty skokowe zmiennej losowej Y wyznaczamy tak jak w poprzednim przykładzie otrzymując zbiór: y, € {1,2 5}. Funkcja nie jest różnowartościowa. Prawdopodobieństwa dla kolejnych punktów skokowych obliczamy następująco (wyniki w tabeli 16): q,⁼ P(Y = 1) = P(X = 0) = 0,2;

q₂ = P(Y = 2) = P(X = 1 lub X = -1) = P(X = I) + P(X = -1) = 0,1 +0,1 =0,2; q, = P(Y = 5) = P(X = 2 lub X=-2) = P(X = 2) + P(X = -2) = 0,3 +0,3 = 0,6;

Tabela 16.

Yi	1	2	5
<li	0,2	0,2	0,6

c/ Punkty skokowe zmiennej Y obliczamy tak, jak w poprzednich przykładach.

y, e {-24, -3. 0, 3, 24}.

Funkcja jest różnowartościowa więc prawdopodobieństwa dla kolejnych punków skokowych są takie same jak w przykładzie a1.

Yi	-24	-3	0	3	24
<u	0.3	0.1	0,2	0.1	0.3

Tabela 17.

12/ Dane sąfunkcje prawdopodobieństwa niezależnych zmiennych losowych.

Tabela	18
Xi	1	3	4	5
Pi	0.1	0.2	0.3	0.4

Tabela 19.

Yi		4
<li	0,3	0,7

Wyznaczyć funkcją prawdopodobieństwa zmiennej losowej Z = X + Y

-14-

Rozwiązanie:

Punkty skokowe zmiennej losowej Z to wszystkie możliwe sumy liczb Xj+y; takie, że    e X oraz y, e Y. Stąd z, e (3, 5. 6, 7, 8. 9}. Kolejne prawdopobień-

stwa obliczamy jak pokazano poniżej:

P(Z = 3) =    P(X = 1) -    P(Y    = 2) = 0,1 • 0,3 = 0, 03;

P(Z = 5) =    P(X = I) •    P(Y    = 4)+P(X = 3) • P(Y = 2)    = 0,1 • 0,7 +0,2 • 0,3 = 0,13;

P(Z = 6) =    P(X = 4) •    P(Y    = 2) = 0,3 ■ 0,3 = 0,09;

P(Z = 7) = P(X = 3) • P(Y = 4) + P(X = 5) • P(Y = 2) = 0,26; P(Z = 8) = P(X = 4) - P(Y = 4) = 0,3 0,7 = 0,21;

&	3	5	6		8	9
Pi	0,03	0.13	0,09	0,26	0.21	0,28

P(Z = 9) = P(X = 5) • P(Y = 4) = 0,4 • 0,7 = 0,28. Rozkład zmiennej losowej zapiano w tabeli 20. Tabela 20.

Xi	3	4	5	9
Pi	0.1	0,1	0?2	0.6

13/ Wiedząc, że zmienna losowa X ma rozkład podany w tabeli 21: Tabela 21.

Obliczyć - ²).

Rozwiązanie:

Pomocniczo wyznaczamy dystrybuantę F(X). Wartości dla dystrybuanty za-

Tabela 22.

X	(-od.3 >	(3,4>	(4.5>	(5,9>	(9,+co)
F(X)	0	0,1	0,2	0,4	1

Aby jx < 2 to X < 4 .

A zatem P(X < 4) = F( 4 + 0) = 0,2.

14/ Zmienna losowa X ma funkcją prawdopodobieństwa postaci:

_Pt = />(* = *) = ——

^k!    gdzie k s Nu{0}.

Znaleźć funkcją prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y = 2X. Rozwiązanie:

Ponieważ Y - 2X więc X = Y/2. Funkcję prawdopodobieństwa konstruujemy jak poniżej:

__r_ gdzie y, € {2 k; k e Neu{0}}

U-15-

q _k = P(Y=_yi)=P(X = _yi/2) =