Algebra kolos gr1

r\ICS Lublin

A Igr fog ogótun

\Igobra. Kolokwium Nr 2 Krupa I    23.01.2011 i

/'.'ulanie 1.

1.    Znale/, wszystkie dzielniki elementu n a -f i\fii w pierścieniu Z|i>/3|.

2.    Czy element <j rozkłndalny w pierścieniu Z;»\/3|7 3 Czy element a j«*>t odwracalny w pierścieniu Z|«^3|?

4. Czy rozkład tego elementu j*->t jednoznaczny w pierścieniu Z|i\/3|? ^r) Wyznaczyć element b który jest stowarzyszony /. elementem u w pierścieniu Z[»s/3]. Zadanie 2.

Sprawdzić. czy zbiór wszystkich elementów nieodwracalnych pierścienia Z. jest ideałem tego pierścienia. Wyznacz dzielniki zera w tym pierścieniu.

Zadanie 3.

Wyznaczyć największy wspólny dzielnik wielomianów f(x) = i^Ą + 1 i y(.r) — Ar^% + 3z -1 w pierścieniu Z$[.r).

Zadanie 4.

Niech    będij pierwiastkami wielomianu j³ - 31² + 56 Q[j|. Obliczyć

(X| + xy)(x, -f x_:ł)(xy + x»).

Zadanie 5.

Suma dwó< łi pierwiast ków wielomianu 2s ^{ - x^: - 7j+ ■ <3 Q[xj wynosi 1 Wyznaczyć Zadanie 6.

Przez Zr,jj] oznaczamy pierścień wszystkich wielomianów o współc■zynnikach z pier-V 1. ma 7- Znaleźć wszystkie pary a. be Z,, takie, że wielomian / = 2x® +5jr^, + 4x'²-wix+fc pr/\ dzieleniu przez i + 1 dawał resztę 5. a przy dzieleniu przez j + 3 reszty 1. Dzielenia '• wykonujemy zgodni* t regułami działań w Z*[x|.