CCF20090321061

wyniesie 8 franków wtedy podniesie stawkę do 16 franków, co w razie wygranej w trzecim rzucie da mu 8 franków czystego zysku; jeżeli przegra trzeci rzut, jego straty wyniosą łącznie 24 franki i podniesie on stawkę do 40 franków, aby w razie wygranej w czwartym rzucie uzyskać 16 franków zysku; jeżeli przegra i czwarty rzut, jego łączna strata wyniesie 64 franki. Łatwo zauważyć, że jeśli Piotr przegra n~l początkowych rzutów, to łączna suma jego strat wyniesie (n~ l)*2ⁿ~'ⁱ i będzie musiał podwyższyć stawkę do (n + 1) • 2ⁿ~¹, jeżeli zechce zapewnić sobie czysty zysk 2” franków w razie wygranej w n-tym rzucie; gdyby jednak i tym razem przegrał, to łączna suma jego strat wyniosłaby

(n - 1)* 2”"¹ + (n + l)^"¹ = 2n*2^B“ ¹ ~ n -2"

co potwierdza prawo, które sformułowaliśmy dla (n—l)-ego rzutu.

Jeśli wychodzimy z oczywistego zresztą założenia, że fundusze Piotra są ograniczone (albo że Piotr wyznaczył sobie pewną nieprzekraczalną granicę strat), to przyjmujemy tym samym, że wyznaczył on maksymalną liczbę ewentualnych rzutów. Liczba rzutów nie powinna mianowicie przekroczyć n, jeśli Piotr nie może czy nje chce stracić więcej niż n ♦ 2ⁿ, a więc nie chce ryzykować straty (n + 1) • 2ⁿ⁺¹ franków.

Obliczymy nadzieje matematyczne Piotra i Pawła przy założeniu, że liczba rzutów ma nie przekroczyć n i że gra ma być przerwana, jeżeli Piotr wygra zanim liczba rzutów osiągnie ową nieprzekraczalną granicę.

(58) obliczanie nadziei matematycznych

Nadzieja matematyczna każdego z graczy stanowi sumę dwóch składników, z których jeden jest wielkością dodatnią i wyraża nadzieję ma-

126

^:

i

\

\

i

. i.

: \

tematyczną odpowiadającą zyskom danego gracza, drugi zaś jest wielkością ujemną i odpowiada jego stratom. Ponieważ zysk Piotra jest równy stratom Pawła, i odwrotnie, przeto wystarczy obliczyć dodatnie nadzieje matematyczne obu graczy.

Piotr może wygrać n różnymi sposobami, partia zostanie bowiem zakończona, kiedy Piotr osiągnie pierwszą wygraną, co może nastąpić w pierwszym, w drugim itd. bądź wreszcie w n-tym rzucie. Łączna nadzieja matematyczna Piotra równa się sumie nadziei matematycznych odpowiadających każdej spośród tych n ewentualności, mógłby on bowiem każdą z tych nadziei sprzedać innemu nabywcy gotowemu rozegrać sprawiedliwą grę.

Obliczmy nadzieję matematyczną Piotra odpowiadającą wygraniu k- tego rzutu, gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą mniejszą lub równą n. Zgodnie z przyjętymi warunkami gry, gra kończy się na k-tym rzucie, jeżeli Piotr przegrywa k—1 pierwszych rzutów i wygrywa następny. Prawdopodobieństwo takiego przebiegu gry równa się ^I/₂k, tyle .bowiem wynosi prawdopodobieństwo tego, że wygrane i przegrane w k kolejnych rzutach ułożą się w jakimś określonym, wcześniej wskazanym porządku. Istnieje jedna szansa na dwie, że określony gracz wygra pierwszy rzut; to samo dotyczy drugiego i każdego następnego rzutu; aby zatem otrzymać prawdopodobieństwo zdarzenia złożonego, polegającego na tym, że dany gracz wygrywa k kolejnych rzutów, trzeba przemnożyć k czynników, z których każdy równa się -]

Z drugiej strony wygrana Piotra w rozważanym przez nas przypadku, a więc w przypadku, gdy wygrywa on po raz pierwszy w łc-tym rzucie, wynosi 2^k; nadzieja matematyczna, równa iloczynowi wygranej przez prawdopodobieństwo tej wygranej, jest zatem równa jedności.

Całkowita dodatnia nadzieja matematyczna Piotra równa się więc sumie n równych składników,

•    127