CCF20090321062

odpowiadających n wartościom k, od 1 do n, przy czym każdy z tych składników jest równy jedności; ta dodatnia nadzieja matematyczna E Piotra jest więc równa n; ujemna nadzieja matematyczna Pawła wynosi — E, tj. — n.

Obliczmy teraz dodatnią nadzieję matematyczną E Pawła._Zgodnie z przyjętymi warunkami, Paweł może wygrać tylko wtedy, gdy wygra n pierwszych rzutów; prawdopodobieństwo takiego rezultatu wynosi 1/2”, a łączna wygrana Pawła w tym przypadku równa się, jak wiemy, n • 2”; jego nadzieja matematyczna E wynosi zatem

E = — ?t-2ⁿ = n.

Całkowita nadzieja matematyczna Piotra, E — — E'_y jest więc równa zeru i tyleż wynosi całkowita nadzieja matematyczna E'— E I^awła. Taki też właśnie rezultat powinniśmy byli otrzymać, ponieważ każdy rzut daje obu graczom jednakowe szanse. Przekonamy się jednak, że gdy n jest liczbą dostatecznie dużą, powstają pewne komplikacje.

(59) przypadek, gdy liczba rzutów* jest dostatecznie duża

Przypuśćmy, że fundusze, jakimi dysponuje Piotr, są dostatecznie duże w porównaniu z początkową stawką, aby n mogło równać się 30; ponieważ 2³⁰ wynosi w przybliżeniu tyle, co 10⁹, tj. miliard, fundusze Piotra, które mają przekraczać n • 2 ”, powinny przekraczać 30 miliardów razy jednostkę stawki. Jeśli przyjąć, że jednostka ta równa się 1 centymowi, a więc stawka przy pierwszym rzucie wynosi 2 centymy, to fundusze Piotra powinny przekraczać 300 milionów franków; Paweł powinien, oczywiście, rozporządzać funduszami takich samych rozmiarów.

Zakładając, że stawka początkowa jest bardzo niska, ^powinniśmy przyjąć, że Piotr i Paweł rozgrywają bardzo dużą liczbę par-tii, z których każda zostaje przerwana z chwilą, gdy Piotr osiąga wygraną. Prosty rachunek, którego zaoszczędzimy naszym Czytelnikom, wskazuje, że przy dużej liczbie rozgrywanych partii na jedną partię pi’zypadają średnio 2 rzuty; jeżeli rzuty wykonuje się co 5 sekund, partia trwa średnio 10 sekund i można by rozgrywać około 3000 partii dziennie, a więc około miliona partii rocznie. Aby któraś partią zakończyła się wygraną Pawła, musiałby on wygrać 30 rzutów, tyle bowiem wynosi przyjęta maksymalna ilość rzutów w partii; prawdopodobieństwo takiego wyniku równa się jednej mi-iiardowej. Rozgrywając milion partii rocznie Paweł powinien więc osiągać wygraną przeciętnie raz na tysiąc lat.

Toteż Paweł ma niezmiernie małe szanse na wygraną, jego teoretyczna nadzieja matematyczna równa się zeru, podobnie jak nadzieja matematyczna Piotra, ale praktyczna nadzieja matematyczna jest dla Pawła ujemna, podczas gdy dla Piotra nadzieja ta jest dodatnia i wynosi niewiele mniej niż 30 centymów za każdą partię. Należy bowiem uznać za znikome nadzieje matematyczne odpowiadające partiom, które by liczyły ponad 25 rzutów; partie takie, praktycznie biorąc, nigdy się nie zdarzają.

Jeśli założymy, że Piotr i Paweł rozgrywają w ciągu roku milion partii, to średnia roczna wygrana Piotra wyniesie około 250 000 franków licząc po 25 centymów za każdą partię; tyleż wyniesie oczywiście przegrana Pawia. Może się jednak zdarzyć, że wygrana Piotra w którymś roku wyniesie znacznie więcej, jeżeli wyjątkowym trafem wygra on partię złożoną z 20—30 rzutów; może się też zdarzyć, choć byłby to przypadek zupełnie wyjątkowy, że wygrana Piotra wyniesie 30 miliardów jednostek, a więc 30 milionów franków.

Można zauważyć, że w przypadku normalnym 9 Prawdopodobieństwo i pewność    129