chądzyński4

46 2. FUNKCJE ZESPOLONE

Zatem i w tym przypadku homografia h ma co najwyżej dwa punkty stale.

To kończy rozwiązanie.    □

Zadanie 4. Pokazać, ze dla każdej trójki parami różnych punktów Zi,z₂, 23 € C istnieje homograjia h : C —> C, taka że h{z-j) — 0, h(z₂) ~ 1, h{z's) — oo.

Rozwiązanie. Dla dowolnych z_1} 22,23 G C określmy przekształcenie h wzorami

(1)

(2)

(3)

(4)

h(z)

Z₂ - Z₃ z — Zi Z₂ ~ Ż\ Z - Z₃

, gdy Zi,z₂,z₃€C,

, , v    ^2 “ 2₃    ,

M*) =-, gdy zi = oo,

z - z₃

h(z) = *    , gdy z₂ - oo,

2 -

h(z) = — gdy z₃ = oo.

Z2- zi

Latw^o sprawdzić że h(zi) — 0, h(z₂) = 1 i    — oo.

Gdy przekształcenie h określone jest wzorem

O " s

az + b

h{z) —--, a, o, c, a G <L,

cz + a

kładziemy D{h) := ad — bc.    > •?

Stąd w (1) D(h) -    ~ z₃) 7^ 0, w (2) D(h) = (23 - 2₂) 7^ 0,

w (3) D{h) — (21 - 23) =/- 0 i w (4) D(ń) = (z₂ - Zj) j- 0. Zatem odwzorowanie h jest we wszystkich przypadkach homografią.

To kończy rozwiązanie.    D

Zadanie 5. Pokazać, że:    f

--(a) dla dwóch dowolnych trójek parami różnych punktów z\, z₂,23 6 n C i Wi,w₂, w₃ G C istnieje dokładnie jedna hom.ografi.a h § iafca, ire h(zi) — Wi dla i = 1,2,3,    |

(b) dla dowolnych dwóch okręgów uogólnionych istnieje homograjia przekształcająca jeden z nich na drugi.

Rozwiązanie, (a). Niech, w myśl zadania 4, h_z,h_w będą dwiema homografiami spełniającymi warunki

(1)

(2)

h_z{z,) = 0, h_z(z₂) = 1. h_z(z₃) = oo, h_w(uii) = 0, h_w(w₂) = 1, h_w(w₃) = oo.

Przekształcenie h := hjj o h_z spełnia warunki h(zi) = W{ rlla i — 1, 2, 3 i ,w myśl zadania 2, jest homografią.

Niech teraz A będzie drugą homografią spełniającą warunki A(^) = Wi dla i — 1, 2, 3. Wówczas, w myśl zadania 2, A^-1 o h jest homografią i ma trzy różne punkty stałe Z\, z₂, z$. Zatem, na mocy zadania 3, mamy \~^l o h = e. Stąd i z własności grupowych homografii dostajemy h = A.    _

(b). Niech C_Z,C_W będą dwoma okręgami uogólnionymi w C. Niech z_1?z₂,Z3 będzie trójką różnych punktów leżących na C_z: a Wj_y u>2, W3 - trójką różnych punktów leżących na C_w.

Z twierdzenia 1.14.4 homografią h_z przekształca okrąg C_z na okrąg uogólniony h_z{C_z), na którym, w myśl (1), leżą punkty 0,1, co. Zatem h_z(C_z) jest prostą, na której leżą punkty 0,1, czyli h_z(C_z) — M, gdzie 1 = RU {oo}.

Analogicznie z twierdzenia 1.14.4 i z (2), dostajemy h_w(C_w) — M.

Reasumując, homografią h~^l o h_z przekształca okrąg uogólniony C_z na okrąg uogólniony C_w.

To kończy rozwiązanie.    □

Zadanie 6. Niech Gd C będzie obszarem. i a, b G G. Pokazać, ze istnieje continuum E C G zawierające punkty a, b.

Rozwiązanie. Bez zmniejszenia ogólności możemy założyć, że a ^ b.

Załóżmy, że a, b G C. Z własności 1.6.2 G \ {oo} jest obszarem. Niech T będzie krzywą przebiegającą w obszarze G \ {oo} łączącą punkty a, b. Oczywiście jT| jest continuum i |rj C G.

Niech teraz jeden z punktów będzie równy oo. Wówczas, na mocy zadania 4, istnieje homografią h taka, że h(a), h(b)- d C. W myśl zadania 1 h{G) jest obszarem w C. Zatem na mocy pierwszej części rozwiązania istnieje krzywa T przebiegającą w obszarze h(G) i łączącą punkty h(a)_yh(b). Niech E ń"^](|r|). Wtedy a,h G E,E d G i, w myśl zadania 1, zbiór E jest continuum.

To kończy rozwiązalne.    □