chądzyński5

144 8. ODWZOROWANIA KONFOREMNE

Dla r 7^ 1 z zadania 3 (przy oznaczeniach z tego zadania) mamy h(C_r) = E_t.

Niech r < 1. Wtedy z (2) dostajemy |P(£)| ^ Mr"ⁿ dla £G Stąd, ponieważ suma osi elipsy E_r jest w tym przypadku równa. 2(l/r), dostajemy |P(£)| < Mpⁿ.

Niech r > 1. Wtedy z (3) dostajemy jP(£)| < Afrⁿ dla £ iG E_r. Stąd, ponieważ suina osi elipsy E_r jest w tym przypadku rówrka 2r, dostajemy j.P(£)| < Mpⁿ.

To kończy rozwiązanie.    □

Zadanie 6. Niech D = {z € C : 0 < Re z < tt), E = {w; G C : Irii a; > 0) oraz niech g : D C fcędzfe funkcją określoną wzorem g(z) — e^M. Pokazać, że g odwzorowuje konforemnie D na E.

Rozwiązanie. Ponieważ funkcja, r/ jest holomorficzna, wystarczy pokazać, że jest ona równowartościowa i g(D) — E.    :

Niech g(z-i) = g{z-f), z_x, z₂ G D. Wówczas na. mocy własności I.ll.l(c) istnieje liczba całkowita k taka, że z\ — z₂ = 2&7r. W konsekwencji Rezj — Re22 — 2k7i. Ponieważ Z\,Z2 G D, to — tt < Rezj -R.e z₂ < Ti- Stąd fc = 0 i z_x — z₂.

Gdy z — .X'-f-ig ę I), to na mocy własności I.ll.l(g) mamy Inie²² > 0. Zatem g(D) c E.

Gdy wq G E, to — iLoga’0 G D i g(—iLogwo) = ico. Zatem ₅(D) = £?

To kończy rozwiązanie.    !    □

Zadanie 7. Niech D — {zGC:0< Re z < tt}, G — C \ {z |e C :

| Re z | > 1 i Im z — 0} oraz funkcja f : G    C będzie określona

wzorem f(z) = cos z. Pokazać, że funkcja f odwzorowuje konforemnie D na G.    |

Rozwiązanie. Niech E — (z G C : 0 < Arg z < tt} i niech funkcja h : E —* C będzie określona wzorem h(z) — (1/2)(z 4- z"¹). Pokażemy najpierw, że funkcja h przekształca. konforemnie E na G. Jak zwykle, wystarczy pokazać, że jest ona różnowa.rtościowa i h(E) — G.

Pokażemy najpierw różnowartościowość h. Niech h(z_x) = hfzf), z_x, z₂ G E. Wówczas podobnie, jak w zadaniu 3, dostajemy [z\Z2 ~ l)(zi — Z2) = 0. Ponieważ Zi, 22 G E_t to Arg z\ + Arg z₂ G (0, 2tt)j Stąd Arg(21 z₂) T 0 i ^zi^z2 7^ 1- Zatem z_L = z-2-    '

Pokażemy teraz, że h{E) c G. Przypuśćmy przeciwnie, że dla pewnego z₀ G E mamy k(z_Q)    G, tzn. h(z₀) = b G {t € M : |t| > 1}.

Wówczas z₀ spełnia równanie kwadratowe z² — 2bz +1 = 0. W konsekwencji za G {6 — \/&² — 1, b + \/b² —T}, gdzie jest pierwiastkiem arytmetycznym. Stąd zq G R, co przeczy temu, że zq G E.

Pokażemy wreszcie, że h(E) = G. Przypuśćmy przeciwnie, że istnieje wq G G, że dla każdego z G E, h(z) ^ wq. Wówczas równanie kwadratowe z¹ — 2ivqz +1 = 0 nie ma pierwiastków w E. Niech Z\, z₂ będą pierwiastkami tego równania. Ze wzorów Viete’a dostajemy z₁z₂ = 1, czyli Arg z_} z₂ = 0. Z drugiej strony, z_uz₂ £ E, czyli Arg 2+ Argz₂ G (—tt, 0) U {71-}. Zatem Arg 24 — Arg2₂ = 0 albo Arg zi = Arg z₂ — ir. W konsekwencji istnieje liczba t G R+ taka, że Z\ — t, z₂ — 1/t albo Z\ = — t, z₂ — —1/t. Stąd, w myśl wzorów Viete’a, mamy u;₀ = \ (t + (1/t)) > 1 albo = — \{t + (1/t)) < —1, co przeczy temu, że wq G G.

Reasumując, h odwzorowuje konforemnie E na G.

Teraz rozwiązanie zadania jest już proste. Z zadania 6 funkcja g określona wzorem g(z) = e^lz odwzorowuje konforemnie D na E. Funkcja h odwzorowuje konforemnie E na G, zatem odwzorowanie / = h o g — cos odwzorowuje konforemnie D na G.

To kończy rozwiązanie.    □

Niech A będzie inwersją i niech funkcja / będzie określona w sąsiedztwie punktu 00. Mówimy, że funkcja f jest meromorficzna w •punkcie 00, gdy funkcja / o A określona w pewnym sąsiedztwie punktu 0 jest meromorficzna w tym punkcie. Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 00 biegun (punkt pozornie osobliwy), gdy funkcja /o A ma w punkcie 0 biegun (punkt pozornie osobliwy). Dalej funkcji meromorficznęj w biegunie przyporządkowujemy wartość 00.

Zadanie 8. Pokazać, ze każde odwzorowanie meromorficzne różnowar-tosciowe g : C —» C jest homografią.

Rozwiązanie. Jeśli g(00) = 00, to g jc jest odwzorowaniem konforemnym i na mocy zadania 2 jest odwzorowaniem liniowym.

Jeśli zaś g(oo) G C, to odwzorowanie

CB z ^ l/(g(z) - g{ 00)) G C