chądzyński 4

162 9. APROKSYMACJA FUNKCJAMI WYMIERNYMI

Na koniec pokażemy, że zachodzi (**). Ze zbieżności iloczynów po prawej stronie (*) i (**) dostajemy łatwo, że

«>nM?)VnMsyVnf' ' *■"

2v — 1

/=1 \    ^{x y} /    v—\ \    ^X /    / ł/=l \

Z (3), (*) i oczywistej równości sin 2 cos z = (1/2) sin 22 dostajemy

4 z²

Sin 712 COS 7T2    = 7T Z

3 H;)')

4z²

= sin 7rz

n ¹

t/= 1

(2v - I)'

□

co daje (**)•

To kończy rozwiązanie.

Zadanie 2. Pokazać, ze

(*)

MI

2z/

v=i

2jz — 1    2i/ + 1

Rozwiązanie. W zadaniu 1, kładąc 2 = 1/2 we wzorze na sin7T2, dostajemy (*).

To kończy rozwiązanie.    □

9.5. Funkcja gamma Eulera Zadanie 1. Pokazać, ze iloczyn

OO

w    IHMM

U-l

jest bezwzględnie i niemal jednostajnie zbieżny w C do funkcji całkowitej.

Rozwiązanie. Pokażemy najpierw, że

(1)    jl — (1 — w) exp ic| < \w\² dla |u;| < 1.

Istotnie, korzystając z rozwinięcia funkcji exp w szereg potęgowy (zadanie 5.1.1), dostajemy

i-(i—tt,)ex_PU, = i-Etm+E

°° U)"⁺¹

„ n\ ' n\

71=0    71=0

■ -^(i-ęnhjr

W

n—1

Stąd

= lwi

|1 -(1 - w)expH < M²g

Aby pokazać bezwzględną, i niemal jednostajną zbieżność iloczynu (*) w C do funkcji całkowitej, wystarczy pokazać bezwzględną i jednostajną zbieżność iloczynu (*) do funkcji holomorficznej w dowolnym kole K_r = {z G C : \z\ < 7?}.

Pokażemy najpierw, że szereg

I    OO

(2)

l/=l

jest jednostajnie zbieżny i ograniczony w Kr. Istotnie, weźmy dowolną liczbę v > R i dowolną liczbę z € Kr. Wówczas z nierówności (1) inamy

i

Szereg ]E^l_7i+1 {R/v)² jest zbieżny. Zatem szereg (2), w myśl kryterium Weierstrassa jednostajnej zbieżności (zadanie 2.7.2), jest jednostajnie zbieżny i ograniczony w Kr.

Z powyższego i z twierdzenia 1.54.3 dostajemy, że iloczyn (*) jest w Kr zbieżny bezwzględnie i jednostajnie do funkcji holomorficznej.

To kończy rozwiązanie.    □

[Zadanie 2. Korzystając z zadania poprzedniego, pokazać, że ;(*)    7 lim f (1/V) — Logn j e R.

i    \J/=1    /

Liczbę 7 nazywamy stalą Eulera.